5群馬大学 2019年 数学 第5問解答・解説

$\vec a=\overrightarrow{OA}=(1,-2,2)$、$\vec b=\overrightarrow{OB}=(3,-4,5)$ とおくと $$|\vec a|^2=9,\qquad \vec a\cdot\vec b=21.$$ $\vec b$ から $\vec a$ 方向の成分を除いたベクトルは $$\displaystyle \vec u=\vec b-\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|^2}\vec a =(3,-4,5)-\frac73(1,-2,2) =\left(\frac23,\frac23,\frac13\right).$$ これは $\alpha$ 上にあり $\vec a$ と垂直で、$|\vec u|^2=(4+4+1)/9=1$。さらに $$\displaystyle \vec u\cdot\vec b =\frac23\cdot3+\frac23\cdot(-4)+\frac13\cdot5=1,\qquad |\vec b|=\sqrt{50},$$ ゆえに $0<\cos\theta=(\vec u\cdot\vec b)/(|\vec u||\vec b|)=1/\sqrt{50}<1$。反対向きの単位ベクトルはこの内積が負になるため、条件に合うのは $$\displaystyle \vec f=\vec u=\left(\frac23,\frac23,\frac13\right), \qquad F\left(\frac23,\frac23,\frac13\right)$$ である。

次に $$\displaystyle \vec e=\frac{\vec a}{|\vec a|} =\left(\frac13,-\frac23,\frac23\right).$$ $|\vec e|=|\vec f|=1$、$\vec e\cdot\vec f=0$ であり、$\vec e,\vec f$ は平面 $\alpha$ の互いに垂直な長さ1の二方向である。したがって $$\displaystyle \vec p\cdot\vec e=\frac43,\qquad \vec p\cdot\vec f=\frac23,\qquad |\vec p|^2=4.$$ よって 実数 $s,t$ に対して $$\displaystyle \begin{aligned} |\vec p-(s\vec e+t\vec f)|^2 &=|\vec p|^2+s^2+t^2-2s(\vec p\cdot\vec e)-2t(\vec p\cdot\vec f)\\ &=4+s^2+t^2-\frac83s-\frac43t\\ &=\left(s-\frac43\right)^2+\left(t-\frac23\right)^2+\frac{16}{9}. \end{aligned}$$ 最小値は $\displaystyle s=\frac43,\ t=\frac23$ のときに得られ、求める距離は $$\displaystyle \sqrt{\frac{16}{9}}=\frac43$$ である。