3群馬大学 2019年 数学 第3問解答・解説

(1) $A(x)=2(xe^x-e^x+1)-x^2$ とおくと、$A(0)=0$ かつ $$A'(x)=2x(e^x-1)>0\quad(x>0)$$ であるから $x^2<2(xe^x-e^x+1)$。次に $B(x)=(e^x-1)^2-2(xe^x-e^x+1)$ とおく。 $$B(0)=0,\qquad B'(x)=2e^x(e^x-x-1).$$ $h(x)=e^x-x-1$ とおけば $h(0)=0$、$h'(x)=e^x-1>0$（$x>0$）より $e^x-x-1>0$。従って $B'(x)>0$ であり、$2(xe^x-e^x+1)<(e^x-1)^2$。よって $$x^2<2(xe^x-e^x+1)<(e^x-1)^2.$$

(2)(3) 微分係数の定義から、$x\ne0$ に対して $$\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x} =\frac{\dfrac{\sin x-x}{x^2}-\dfrac{e^x-1-x}{x^2}}{\dfrac{e^x-1}{x}}.$$ まず $|\sin u|\le |u|$ と $1-\cos t=2\sin^2(t/2)\le t^2/2$ から $$\displaystyle |\sin x-x|=\left|\int_0^x(\cos t-1)\,dt\right|\le\frac{|x|^3}{6},$$ 従って $\displaystyle \lim\limits _{x\to0}(\sin x-x)/x^2=0$。また $$\displaystyle \frac{e^x-1-x}{x^2}=\int_0^1 u\,\frac{e^{ux}-1}{ux}\,du\longrightarrow\int_0^1u\,du=\frac12, \qquad \frac{e^x-1}{x}\longrightarrow1,$$ ここでは $(e^v-1)/v\to1$ を用いた。したがって上の差商は有限な極限をもち、$f$ は $x=0$ で微分可能である。さらに $$\displaystyle f'(0)=\lim\limits _{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{0-\frac12}{1}=-\frac12.$$