1琉球大学 2019年 数学 第1問解答・解説

問1 $$f'(x)=e^{ax}(a\sin bx+b\cos bx)=af(x)+bg(x),\qquad g'(x)=e^{ax}(a\cos bx-b\sin bx)=ag(x)-bf(x).$$ したがって $$\begin{aligned}(af-bg)'&=af'-bg'=a(af+bg)-b(ag-bf)=(a^2+b^2)f,\\ (bf+ag)'&=bf'+ag'=b(af+bg)+a(ag-bf)=(a^2+b^2)g.\end{aligned}$$

問2 問1の結果と$a^2+b^2>0$より、両辺を$a^2+b^2$で割って積分すると $$\displaystyle \int e^{ax}\sin(bx)\,dx=\frac{af-bg}{a^2+b^2}+C_1=\frac{e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx)}{a^2+b^2}+C_1,$$ $$\displaystyle \int e^{ax}\cos(bx)\,dx=\frac{bf+ag}{a^2+b^2}+C_2=\frac{e^{ax}(b\sin bx+a\cos bx)}{a^2+b^2}+C_2.$$ ここで$C_1,C_2$は積分定数である。問1の微分結果を用いて右辺を微分すれば、それぞれ被積分関数に戻る。

問3 $0\leq x\leq\pi$では$\sin x\geq0$なので、回転してできる立体の断面は半径$e^{-x}\sin x$の円である。よって $$\displaystyle V=\pi\int_0^\pi (e^{-x}\sin x)^2\,dx=\frac{\pi}{2}\left(\int_0^\pi e^{-2x}\,dx-\int_0^\pi e^{-2x}\cos 2x\,dx\right),$$ とした。第一の積分は $$\displaystyle \int_0^\pi e^{-2x}\,dx=\left[-\frac12e^{-2x}\right]_0^\pi=\frac{1-e^{-2\pi}}2.$$ 第二の積分には問2で$a=-2,b=2$とした公式を用いると $$\displaystyle \int e^{-2x}\cos 2x\,dx=\frac{e^{-2x}(-2\cos 2x+2\sin 2x)}8=\frac{e^{-2x}(-\cos 2x+\sin 2x)}4,$$ したがって $$\displaystyle \int_0^\pi e^{-2x}\cos 2x\,dx=\left[\frac{e^{-2x}(-\cos 2x+\sin 2x)}4\right]_0^\pi=\frac{1-e^{-2\pi}}4.$$ 以上から $$\displaystyle V=\frac{\pi}{2}\left(\frac{1-e^{-2\pi}}2-\frac{1-e^{-2\pi}}4\right)=\frac{\pi}{8}(1-e^{-2\pi}).$$