4琉球大学 2019年 数学 第4問解答・解説

赤玉が出る確率は $1/3$、白玉が出る確率は $2/3$ であり、戻して引くので各回は独立である。$P(n,m)$ は最初の $n$ 回のどこかに赤玉が $m$ 回以上続く確率とする。

$P(m,m)$ では $m$ 回すべて赤玉であることが必要十分だから $$\displaystyle P(m,m)=\frac1{3^m}.$$

$n=m+1,\ldots,2m$ とし、$n$ 回目までに初めて条件を満たす確率を考える。これは $P(n,m)-P(n-1,m)$ に等しい。最後の $m$ 回がすべて赤玉でなければならず、さらにその直前の第 $n-m$ 回は白玉でなければならない。実際、第 $n-m$ 回も赤玉なら第 $n-1$ 回までに既に $m$ 回連続の赤がある。逆に第 $n-m$ 回が白玉なら、最後の $m$ 回より前の部分は長さ $n-m-1\le m-1$ で、そこに $m$ 回連続はない。よってこの条件がちょうど初回成立を表す。 $$\displaystyle P(n,m)-P(n-1,m)=\frac23\left(\frac13\right)^m=\frac2{3^{m+1}}.$$

問1では $m=2$ を用いる。 $$\displaystyle P(2,2)=\frac19,\qquad P(3,2)=\frac19+\frac2{27}=\frac5{27},\qquad P(4,2)=\frac19+2\cdot\frac2{27}=\frac7{27}.$$ 問2は同じ増分を加えて $$\displaystyle P(m+1,m)=\frac1{3^m}+\frac2{3^{m+1}}=\frac5{3^{m+1}},\qquad P(m+2,m)=\frac1{3^m}+2\cdot\frac2{3^{m+1}}=\frac7{3^{m+1}}.$$ 問4では $n=m+1$ から $2m$ まで増分が $m$ 個ある。従って $$\displaystyle P(2m,m)=\frac1{3^m}+m\cdot\frac2{3^{m+1}}=\frac{2m+3}{3^{m+1}}.$$