4北海道大学 2019年 数学 第4問解答・解説

$n\ge 3$ とする。

(1) Bが最初に引く番号を $X_1$、引き直す場合の2回目の番号を $X_2$ とする。 最初に1または2が出たときだけ引き直すので、m=1,2 について $$\displaystyle P(B=m)=P(X_1=1\text{ または }X_1=2)P(X_2=m)=\frac{2}{n}\cdot\frac1n=\frac{2}{n^2}.$$ 一方、3$\le$ m$\le$ n なら、最初に m を引く場合と、最初に1または2を引いて2回目に m を引く場合があり、これらは排反だから $$\displaystyle P(B=m)=\frac1n+\frac{2}{n}\cdot\frac1n=\frac{n+2}{n^2}.$$

(2) Aの得点は一様で、Aの抽選はBの得点と独立である。よって $$\displaystyle p_n=P(A<B)=\sum\limits _{m=1}^n P(B=m)P(A<m)=\frac1n\sum\limits _{m=1}^n (m-1)P(B=m).$$ (1)の結果を代入すると $$\displaystyle p_n=\frac1{n^3}\left(2+(n+2)\sum\limits _{m=3}^n(m-1)\right).$$ ここで $\displaystyle \sum\limits _{m=3}^n$(m-1)=$\displaystyle \sum\limits _{k=2}^{n-1}$k=$\displaystyle \frac{n(n-1)}2$-1 だから、 $$\displaystyle p_n=\frac1{n^3}\left(2+(n+2)\left(\frac{n(n-1)}2-1\right)\right)=\frac{n^2+n-4}{2n^2}.$$