5北海道大学 2019年 数学 第5問解答・解説

加法定理より $\sin(x-t)=\sin x\cos t-\cos x\sin t$ である。$a_n,b_n$ の定義を用いると、$\displaystyle \frac{2}{\pi}\int_0^\pi f_n(t)\sin(x-t)\,dt=b_n\sin x-a_n\cos x$ となるので、$$f_{n+1}(x)=(2-a_n)\cos x+b_n\sin x.$$ また、$\displaystyle \frac{2}{\pi}\int_0^\pi\sin^2t\,dt=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi\cos^2t\,dt=1$、$\displaystyle \int_0^\pi\sin t\cos t\,dt=0$ より、$$a_{n+1}=b_n,\qquad b_{n+1}=2-a_n.$$ したがって $c_{n+2}=a_{n+2}-1=b_{n+1}-1=(2-a_n)-1=-c_n$。初期値は $c_1=a_1-1,\ c_2=a_2-1=b_1-1$ だから、$c_{n+2}=-c_n$ を順に適用して $$\displaystyle c_n=(a_1-1)\cos\frac{(n-1)\pi}{2}+(b_1-1)\sin\frac{(n-1)\pi}{2}$$ を得る。最後に $f(x)=\sin x+\cos x$ とすれば、$a_1=b_1=1$ である。漸化式から $a_{n+1}=b_n=1$、$b_{n+1}=2-a_n=1$ となるため、すべての $n$ で $a_n=b_n=1$ である。