3北海道大学 2019年 数学 第3問解答・解説

$r=\sqrt{1+t^2}$ とおく。商の微分により、定義域 $x\ne0,1/t$ で $$\displaystyle f'(x)=\frac{t(x^2+2tx-1)}{x^2(1-tx)^2} =\frac{t(x+t-r)(x+t+r)}{x^2(1-tx)^2}.$$ 導関数の零点は $\alpha=-t-r$ と $\beta=-t+r$ である。$r>t$ より $\alpha<0<\beta$ であり、$(r-t)(r+t)=1$ より $\beta=1/(r+t)<1<1/t$ である。分母は定義域で正なので、$f'$ は $x<\alpha$ で正、$\alpha<x<0$ と $0<x<\beta$ で負、$\beta<x<1/t$ と $x>1/t$ で正である。従って $x=\alpha$ で極大、$x=\beta$ で極小となり、ほかに極値はない。

$z=\alpha,\beta$ は $z^2+2tz=1$ を満たすから $$\displaystyle 1-tz=z^2+tz=z(z+t),\qquad f(z)=\frac1{z^2}.$$ また $\alpha+\beta=-2t$, $\alpha\beta=-1$ より $f(\alpha)=\beta^2$, $f(\beta)=\alpha^2$ である。よって中点 $M=(X,Y)$ は $$\displaystyle X=\frac{\alpha+\beta}{2}=-t,\qquad Y=\frac{\beta^2+\alpha^2}{2} =\frac{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta}{2}=1+2t^2.$$ $0<t<1$ だから $-1<X<0$ であり、逆にその範囲の各 $X$ は $t=-X$ で得られる。従って軌跡は $$Y=1+2X^2,\qquad -1<X<0$$ である。端点 $(0,1),(-1,3)$ は含まない。