III愛知医科大学 2019年 数学 第III問解答・解説

漸近線を $y=mx$、$y=-mx$ とする。点 $P=(x_1,y_1)$ は $mx_1>y_1>0$ を満たす。垂線の長さは $$\displaystyle PQ=\frac{mx_1-y_1}{\sqrt{1+m^2}},\qquad PR=\frac{mx_1+y_1}{\sqrt{1+m^2}}.$$ 二漸近線のなす角を $\phi$ とすると、$\displaystyle \sin\phi=\frac{2m}{1+m^2}$ である。また双曲線の式から $m^2x_1^2-y_1^2=m^2$ なので、 $$\displaystyle PQ\cdot PR=\frac{m^2x_1^2-y_1^2}{1+m^2}=\frac{m^2}{1+m^2}.$$ したがって、三角形の面積は $$\displaystyle S=\frac12PQ\cdot PR\sin\phi=\frac{m^3}{(1+m^2)^2}.$$

$S$ を微分すると $$\displaystyle S'(m)=\frac{m^2(3-m^2)}{(1+m^2)^3}.$$ $m>0$ なので、$S$ は $0<m<\sqrt3$ で増加し、$m>\sqrt3$ で減少する。また、$m\to0^+$ および $m\to\infty$ では $S\to0$ だから、最大値は $$\displaystyle S(\sqrt3)=\frac{3\sqrt3}{16}.$$