II愛知医科大学 2019年 数学 第II問解答・解説

$f(x)=ax^3+bx^2+1$ とおく。$a>0,\ b>0$ であり、$1\leq x\leq2$ では $$f'(x)=3ax^2+2bx>0$$ だから、$f$ は増加する。したがって最小値は $f(1)=1+a+b>1$、最大値は $f(2)=1+8a+4b$ である。よって、$1\leq f(x)\leq2$ が$1\le x\le2$ を満たすすべての $x$ で成り立つための必要十分条件は $$a>0,\qquad b>0,\qquad 8a+4b\leq1$$ である。

この条件のもとで $$\displaystyle I=\int_1^2(ax^3+bx^2+1)\,dx =1+\frac{15}{4}a+\frac{7}{3}b.$$ $a,b>0$ より $I>1$。また、$8a+4b\leq1$ から $\displaystyle b\leq\frac14-2a$ なので $$\displaystyle I\leq1+\frac{15}{4}a+\frac{7}{3}\left(\frac14-2a\right) =\frac{19}{12}-\frac{11}{12}a <\frac{19}{12}.$$ したがって、$I$ は $1<I<19/12$ を満たす。

この区間のすべての値を実際にとることを示す。任意の $T$ を $\displaystyle 1<T<\frac{19}{12}$ とする。十分小さい正の数 $\delta$ を選べば $$\displaystyle 0<\delta<\frac{1}{12},\qquad 1+\frac{73}{12}\delta<T<\frac{19}{12}-\frac{11}{12}\delta$$ となる。ここで $a=\delta$ と固定し、$b$ を $\delta$ から $\displaystyle \frac14-2\delta$ まで動かす。この範囲では $a>0,\ b>0,\ 8a+4b\leq1$ が成り立つ。また $\displaystyle I=1+\frac{15}{4}\delta+\frac{7}{3}b$ は $b$ の連続な一次関数であり、両端での値はそれぞれ $\displaystyle 1+\frac{73}{12}\delta<T$、$\displaystyle \frac{19}{12}-\frac{11}{12}\delta>T$ である。中間値の定理により、ある $b$ で $I=T$ となる。したがって、$1<T<19/12$ を満たすすべての $T$ が実現し、求める範囲は $$\displaystyle \boxed{1<I<\frac{19}{12}}$$ である。