1熊本大学 2019年 数学 第1問解答・解説

(問1) 共有点の $x$ 座標は、2曲線の $y$ 座標を等しくして $$x^2+2ax-2a+1=x^3+1\quad\text{すなわち}\quad (x-1)(x^2-2a)=0$$ を満たす。$a<0$ なら $x^2=2a$ は実数解をもたないため、共有点は $x=1$ に対応する1個だけである。$a>0$ なら候補は $x=1,\sqrt{2a},-\sqrt{2a}$ であり、$-\sqrt{2a}<0<1$ だから、ちょうど2個となるのは $\sqrt{2a}=1$ のときに限る。したがって $\displaystyle a=\frac12$ である（条件により $a=0$ は除く）。

(問2) $\displaystyle a=\frac12$ のとき $C_1$ は $y=x^2+x$、$C_2$ は $y=x^3+1$ であり、 $$C_2-C_1=x^3-x^2-x+1=(x-1)^2(x+1)$$ より、囲まれた部分の $x$ の範囲は $-1\le x\le1$ である。$-1\le x\le0$ では $C_1=x(x+1)\le0\le x^3+1=C_2$ であり、さらに $$C_2+C_1=x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1)\ge0$$ だから、領域を $x$ 軸の周りに回転した断面は半径 $x^3+1$ の円板となる。$0\le x\le1$ では $0\le C_1\le C_2$ なので、断面は外半径 $x^3+1$、内半径 $x^2+x$ の円輪となる。よって体積は $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_{-1}^{0}(x^3+1)^2\,dx+\pi\int_{0}^{1}\bigl((x^3+1)^2-(x^2+x)^2\bigr)\,dx\\ &=\pi\left(\frac{9}{14}+\frac{64}{105}\right)=\frac{263\pi}{210}. \end{aligned}$$