4金沢医科大学 2020年 数学 第4問解答・解説

まず直線 $\ell$ を $y=x+3$ と表す。

$C_1$ と $\ell$ の交点の $x$ 座標は $$x^2-2(x+3)+a=0\quad\text{すなわち}\quad x^2-2x+a-6=0$$ を満たす。点 $P$ で接するのでこの二次方程式は重解をもち，判別式を $0$ とすると $a=7$。重解は $x=1$ だから $P=(1,4)$ である。

次に，$C_2$ に $y=x+3$ を代入すると，交点の $x$ 座標は $$-x^2+(b-2)x+3-c=0$$ を満たす。$P$ で接する条件は $x=1$ が重解となることだから，この式は $-(x-1)^2$ に等しい。係数を比較して $b=4,\ c=4$ を得る。

このとき $C_2$ は $4x=(y-2)^2$ と書ける。$0\le x\le1$ で $C_2$ の上側の枝は $y=2+2\sqrt{x}$ である。直線はその上にあり，差は $$(x+3)-(2+2\sqrt{x})=(1-\sqrt{x})^2.$$ よって $t=\sqrt{x}$ と置けば，$C_2,\ell$, $y$ 軸で囲まれた面積は $$\displaystyle \int_0^1(1-\sqrt{x})^2\,dx=\int_0^1 2t(1-t)^2\,dt=\frac16.$$

$D$ は $0\le x\le1$ において，上側が $y_1=(x^2+7)/2$，下側が $y_2=2+2\sqrt{x}$ の領域である。実際，$t=\sqrt{x}$ とすると $$\displaystyle y_1-y_2=\frac12(t-1)^2(t^2+2t+3)\ge0.$$ したがって，$x$ 軸の周りの回転体の体積は円環の断面を積分して $$\displaystyle \begin{aligned} V_x&=\pi\int_0^1(y_1^2-y_2^2)\,dx\\ &=\pi\int_0^1\left[\left(\frac{t^4+7}{2}\right)^2-(2+2t)^2\right]2t\,dt\\ &=\pi\left(\frac1{20}+\frac76+\frac{33}{4}-\frac{16}{3}-2\right)=\frac{32}{15}\pi. \end{aligned}$$

$y$ 軸の周りでは水平断面を考える。$C_2$ の右端は $x=(y-2)^2/4$ であり，$C_1$ は $x=\sqrt{2y-7}$ と表せるのは $y\ge7/2$ のときである。したがって $2\le y\le7/2$ では円板，$7/2\le y\le4$ では円環となり， $$\displaystyle \begin{aligned} V_y&=\pi\int_2^{7/2}\left(\frac{(y-2)^2}{4}\right)^2dy +\pi\int_{7/2}^{4}\left[\left(\frac{(y-2)^2}{4}\right)^2-(2y-7)\right]dy\\ &=\left(\frac{243}{2560}+\frac{141}{2560}\right)\pi=\frac3{20}\pi. \end{aligned}$$ よって空欄は $\boxed{\text{ロ}}=7,\ \boxed{\text{ワ}}=1,\ \boxed{\text{ヲ}}=4,\ \boxed{\text{あ}}=4,\ \boxed{\text{い}}=4,\ \boxed{\text{う}}=1,\ \boxed{\text{え}}=6,\ \boxed{\text{おか}}=32,\ \boxed{\text{きく}}=15,\ \boxed{\text{け}}=3,\ \boxed{\text{こさ}}=20$ である。