1金沢医科大学 2020年 数学 第1問解答・解説

各出目に対して $A=\sin(\pi a/6)$、$D=\cos(\pi c/3)$ とおくと $T=A+bD$ である。値は $$\displaystyle \begin{array}{c|rrrr} a&1,5&2,4&3&6\\\hline A&\frac12&\frac{\sqrt3}{2}&1&0 \end{array} \qquad \begin{array}{c|rrrr} c&1,5&2,4&3&6\\\hline D&\frac12&-\frac12&-1&1 \end{array}$$ である。3個のさいころは独立で、全事象は $6^3=216$ 通り。

(1)　 $A$ の最大値は $1$、最小値は $0$、$bD$ の最大値は $6$、最小値は $-6$ である。各値は同時に実現できるから $$\displaystyle T_{\max}=1+6=7,\qquad T_{\min}=0-6=-6.$$

(2)　 $T=0$ には $D<0$ が必要である。$D=-1/2$ のとき $A=b/2$ となり、$A=1/2,b=1$ は $a=1,5$ の2通り、$A=1,b=2$ は1通りで、各 $c=2,4$ について3通り、計6通り。$D=-1$ のときは $A=b$ より $A=1,b=1$ の1通りだけである。したがって有利な場合は7通りで、確率は $$\displaystyle \frac7{216}.$$

(3)　 $D=1$（$c=6$）では、$A=0$ のとき $b=2,4,6$、$A=1$ のとき $b=1,3,5$ が正の偶数を与え、計6通り。他の $A$ では整数にならない。$D=1/2$（$c=1,5$）では、各 $c$ について $(A,b)=(0,4)$、$(1/2,3)$（$a=1,5$ の2通り）、$(1,2),(1,6)$ の計5通りである。負の $D$ では $T\le1/2$ なので正の偶数にはならない。よって有利な場合は $6+2\cdot5=16$ 通りで、確率は $$\displaystyle \frac{16}{216}=\frac2{27}.$$

(4)　 $H=3+\sqrt3/2$ とする。$D=1$ のとき、$A=0,1/2,\sqrt3/2,1$ の順に条件 $A+b<H$ を満たす $(a,b)$ はそれぞれ $3,6,4,2$ 通り、計15通り。$D=1/2$ のときは同じ順に $6,12,10,5$ 通り、計33通り（ここでは $A=1/2,\sqrt3/2$ の各値をとる $a$ が2個ずつある）。一方、$D=-1/2,-1$ では $T\le1/2<H$ なので全36通りが条件を満たす。$c$ の個数を考慮すると有利な場合は $$15+2\cdot33+2\cdot36+36=189$$ 通り。したがって確率は $$\displaystyle \frac{189}{216}=\frac78.$$