3金沢医科大学 2020年 数学 第3問解答・解説

$\triangle OA_1B_1$ は三角形なので，$\overrightarrow{OA_1}$ と $\overrightarrow{OB_1}$ は一次独立である。$\boldsymbol a=\overrightarrow{OA_1},\ \boldsymbol b=\overrightarrow{OB_1}$ とおくと，漸化式から $$\displaystyle \overrightarrow{OA_n}=\left(\frac23\right)^{n-1}\boldsymbol a,\qquad \overrightarrow{OB_n}=\left(\frac12\right)^{n-1}\boldsymbol b.$$

$A_nP_n:P_nB_n=s_n:1-s_n$ より，内分点の位置ベクトルは $$\overrightarrow{OP_n}=(1-s_n)\overrightarrow{OA_n}+s_n\overrightarrow{OB_n}.$$ また，$P_n$ は直線 $OP_1$ 上にあり，$P_1$ は $A_1B_1$ の中点なので，$\overrightarrow{OP_n}$ は $\boldsymbol a+\boldsymbol b$ の実数倍である。$\boldsymbol a,\boldsymbol b$ の係数が等しくなるから $$\displaystyle (1-s_n)\left(\frac23\right)^{n-1}=s_n\left(\frac12\right)^{n-1}.$$ これを解くと $$\displaystyle s_n=\frac{(2/3)^{n-1}}{(2/3)^{n-1}+(1/2)^{n-1}} =\frac{4^{n-1}}{4^{n-1}+3^{n-1}}.$$ したがって $$\displaystyle s_2=\frac47,\qquad s_3=\frac{16}{25}.$$ 分母の底は $3<4$ だから，空欄は $\boxed{\text{メ}}=4,\ \boxed{\text{モ}}=7,\ \boxed{\text{ヤユ}}=16,\ \boxed{\text{ヨラ}}=25,\ \boxed{\text{リ}}=4,\ \boxed{\text{ル}}=3,\ \boxed{\text{レ}}=4$ である。