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金沢医科大学／2020年度／一般

金沢医科大学 2020年 数学 第2問解答・解説

いろいろな式図形と方程式微分・積分の考え

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1問題

金沢医科大学2020年度第2問

曲線 C:y=x3−9xC:y=x^3-9x 上の点 A(1,−8)A(1,-8) における接線を ℓ1\ell_1 とする。また，ℓ1\ell_1 と平行な直線で，AA と異なる点 BB で CC と接する直線を ℓ2\ell_2 とする。

(1) ℓ1\ell_1 の方程式は y=−シx−スy=-\boxed{\text{シ}}x-\boxed{\text{ス}} であり，CC と ℓ1\ell_1 の共有点のうち，AA と異なる点を PP とするとき，PP の座標は (−セ,ソタ)(-\boxed{\text{セ}},\boxed{\text{ソタ}}) である。

(2) ℓ2\ell_2 の方程式は y=−チx+ツy=-\boxed{\text{チ}}x+\boxed{\text{ツ}} であり，BB の座標は (−テ,ト)(-\boxed{\text{テ}},\boxed{\text{ト}}) である。また，CC と ℓ2\ell_2 の共有点のうち，BB と異なる点を QQ とするとき，QQ の座標は (ナ,−ニヌ)(\boxed{\text{ナ}},-\boxed{\text{ニヌ}}) である。

(3) 四角形 APBQAPBQ の面積を S1S_1 とするとき，S1=ネノS_1=\boxed{\text{ネノ}} である。

(4) CC と ℓ1\ell_1 で囲まれた部分の面積を S2S_2 とするとき，S2=ハヒフ\displaystyle S_2=\frac{\boxed{\text{ハヒ}}}{\boxed{\text{フ}}} である。また，CC と ℓ2\ell_2 で囲まれた部分の面積を S3S_3 とするとき，S3=ヘホマ\displaystyle S_3=\frac{\boxed{\text{ヘホ}}}{\boxed{\text{マ}}} である。

(5)

(3)，(4)で求めた面積について，S1S2+S3=ミム\displaystyle \frac{S_1}{S_2+S_3}=\frac{\boxed{\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}}} である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

導関数から接線を求め、接線と三次曲線の差を因数分解して交点・囲まれた面積を計算する。四角形APBQは座標で平行四辺形と確かめ、垂線の足を計算して底辺×高さで面積を求める。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • ℓ1:y=−6x−2,P=(−2,10);ℓ2:y=−6x+2,B=(−1,8), Q=(2,−10);S1=12, S2=S3=274,S1S2+S3=89.\displaystyle \ell_1:y=-6x-2,\quad P=(-2,10);\quad \ell_2:y=-6x+2,\quad B=(-1,8),\space{}Q=(2,-10);\quad S_1=12,\space{}S_2=S_3=\frac{27}{4},\quad \frac{S_1}{S_2+S_3}=\frac89.

4解答

解答を見る途中式つきの解答

曲線を f(x)=x3−9xf(x)=x^3-9x とおくと、f′(x)=3x2−9f'(x)=3x^2-9 である。

(1)　 点 A(1,−8)A(1,-8) における接線の傾きは f′(1)=−6f'(1)=-6 なので ℓ1:y+8=−6(x−1),y=−6x−2.\ell_1:y+8=-6(x-1),\qquad y=-6x-2. CC と ℓ1\ell_1 の交点の xx 座標は x3−9x=−6x−2すなわち(x−1)2(x+2)=0x^3-9x=-6x-2 \quad\text{すなわち}\quad (x-1)^2(x+2)=0 を満たす。AA 以外では x=−2x=-2、y=f(−2)=10y=f(-2)=10 だから P=(−2,10)P=(-2,10) である。

(2)　 ℓ1\ell_1 に平行な接線の接点の xx 座標は f′(x)=−6すなわち3x2−9=−6すなわちx=±1.f'(x)=-6 \quad\text{すなわち}\quad 3x^2-9=-6 \quad\text{すなわち}\quad x=\pm1. AA と異なる接点は x=−1x=-1 なので B=(−1,8)B=(-1,8) であり、 ℓ2:y−8=−6(x+1),y=−6x+2.\ell_2:y-8=-6(x+1),\qquad y=-6x+2. CC と ℓ2\ell_2 の交点については x3−9x=−6x+2すなわち(x+1)2(x−2)=0.x^3-9x=-6x+2 \quad\text{すなわち}\quad (x+1)^2(x-2)=0. BB 以外では x=2x=2、y=f(2)=−10y=f(2)=-10 だから Q=(2,−10)Q=(2,-10) である。

(3)　 頂点を A,P,B,QA,P,B,Q の順にたどると AP→=(−3,18)=QB→,PB→=(1,−2)=AQ→.\overrightarrow{AP}=(-3,18)=\overrightarrow{QB},\qquad \overrightarrow{PB}=(1,-2)=\overrightarrow{AQ}. 向かい合う辺のベクトルがそれぞれ等しいので、APBQAPBQ は平行四辺形である。底辺 PBPB の長さは 12+(−2)2=5\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt5。直線 PBPB は y=−2x+6y=-2x+6 であり、それに垂直で AA を通る直線は y+8=(x−1)/2y+8=(x-1)/2 である。この2直線の交点を HH とすると、連立して H=(295,−285).\displaystyle H=\left(\frac{29}{5},-\frac{28}{5}\right). 従って底辺 PBPB に対する高さは ∣AH∣=(295−1)2+(−285+8)2=125.\displaystyle |AH|=\sqrt{\left(\frac{29}{5}-1\right)^2+ \left(-\frac{28}{5}+8\right)^2} =\frac{12}{\sqrt5}. 底辺と高さの積より S1=∣PB∣ ∣AH∣=5⋅125=12.\displaystyle S_1=|PB|\,|AH|=\sqrt5\cdot\frac{12}{\sqrt5}=12.

(4)　 ℓ1\ell_1 と曲線の差は f(x)−(−6x−2)=(x−1)2(x+2)≧0(−2≦x≦1)f(x)-(-6x-2)=(x-1)^2(x+2)\geq0\qquad(-2\leq x\leq1) なので S2=∫−21(x3−3x+2) dx=274.\displaystyle S_2=\int_{-2}^{1}(x^3-3x+2)\,dx=\frac{27}{4}. また (−6x+2)−f(x)=−(x+1)2(x−2)≧0(−1≦x≦2)(-6x+2)-f(x)=-(x+1)^2(x-2)\geq0\qquad(-1\leq x\leq2) なので S3=∫−12(−x3+3x+2) dx=274.\displaystyle S_3=\int_{-1}^{2}(-x^3+3x+2)\,dx=\frac{27}{4}.

(5)　 以上より S1S2+S3=1227/4+27/4=89.\displaystyle \frac{S_1}{S_2+S_3} =\frac{12}{27/4+27/4} =\frac89.

この問題で使う考え方

  • 多項式の導関数
  • 接線の方程式
  • 剰余・因数定理
  • 定積分による面積
  • 直線の方程式
  • 座標による距離

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