4熊本大学 2019年 数学 第4問解答・解説

(問1)

取り出した $n$ 個の球の集合は全部で $\displaystyle \binom{2n}{n}$ 通りある。赤球が $k$ 個となるには、赤球 $n$ 個から $k$ 個、白球 $n$ 個から $n-k$ 個を選ぶので、その選び方は $$\displaystyle \binom{n}{k}\binom{n}{n-k}=\binom{n}{k}^{2}$$ 通りである。従って求める確率は $$\displaystyle \boxed{\frac{\binom{n}{k}^{2}}{\binom{2n}{n}}}.$$

(問2)

赤球が $k$ 個のとき、手元の赤球の比率は $k/n$ だから、その場合にゲームに勝つ確率は $(k/n)^2$ である。よって、赤球が $k$ 個となり、かつ勝つ確率は $$\displaystyle \frac{\binom{n}{k}^{2}}{\binom{2n}{n}}\left(\frac{k}{n}\right)^2 =\frac{\binom{n-1}{k-1}^{2}}{\binom{2n}{n}},$$ となる。ここでは $\displaystyle \frac{k}{n}\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}$ を用いた。階乗表示から $$\displaystyle \binom{2n}{n}=\frac{2(2n-1)}{n}\binom{2n-2}{n-1}$$ なので、 $$\displaystyle \boxed{\frac{n}{2(2n-1)}\cdot\frac{\binom{n-1}{k-1}^{2}}{\binom{2n-2}{n-1}}}.$$

(問3)

赤球が $0$ 個なら勝つ確率は $0$ である。従って (問2) の確率を $k=1,\ldots,n$ について加えると、 $$\displaystyle P(\text{勝つ})=\frac{n}{2(2n-1)}\cdot \frac{\displaystyle\sum\limits _{k=1}^{n}\binom{n-1}{k-1}^{2}}{\binom{2n-2}{n-1}}.$$ $j=k-1$ とおくと、二組それぞれ $n-1$ 個の球から合計 $n-1$ 個を選ぶ方法を、第一の組から選ぶ個数 $j$ で分けて数えることで $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\binom{n-1}{k-1}^{2} =\sum\limits _{j=0}^{n-1}\binom{n-1}{j}\binom{n-1}{n-1-j} =\binom{2n-2}{n-1}.$$ 従って $$\displaystyle \boxed{P(\text{勝つ})=\frac{n}{2(2n-1)}}.$$