3滋賀医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} \text{I (1)}\quad & \mathbb{P}(\text{赤玉が全て出る}) =\frac{\binom44\binom42}{\binom86}=\frac3{14}.\\[2pt] \text{I (2)}\quad & \mathbb{P}(\text{初めて6回目で赤玉がなくなる})\\ &=\frac{\binom43\binom42}{\binom85}\cdot\frac13=\frac17.\\[2pt] \text{II}\quad & s=a+b,\quad R_k=\text{$k$ 回後の赤玉数},\quad p_k=\mathbb{P}(\text{$k$ 回目に赤玉}).\\ & p_1=\frac{a}{s},\qquad p_{k+1}=\frac{\mathbb{E}[R_k]}{s+k},\\ &\mathbb{E}[R_k]=a+\sum\limits _{j=1}^kp_j.\\ & p_1=\frac as,\quad p_2=\frac{a+p_1}{s+1}=\frac as,\quad p_3=\frac{a+p_1+p_2}{s+2}=\frac as.\\ & p_j=\frac as\ (1\le j\le k)\quad\text{と仮定すると}\quad\mathbb{E}[R_k] =a+k\frac as=\frac{a(s+k)}s,\\ &\hspace{28mm}p_{k+1}=\frac{\mathbb{E}[R_k]}{s+k}=\frac as.\\ &\text{帰納法で全ての }n\ge1\text{ について }p_n=\frac{a}{a+b}. \end{aligned}$$

I(1) は全8個から6個を選ぶ組合せのうち赤4個を全て含む場合なので $\displaystyle \binom44\binom42/\binom86=3/14$。I(2) は最初の5回に赤3・白2、その後に残った赤1個を引く確率で $3/7\cdot1/3=1/7$。II では $k$ 回後の赤玉数を $R_k$ とすると、次回の赤確率は $\mathbb E[R_k]/(a+b+k)$。赤玉の期待数を逐次足すと $\displaystyle \mathbb E[R_k]=a+\sum\limits _{j=1}^kp_j$ なので、$p_1=a/(a+b)$ からの帰納法で全回同じ確率になる。