2滋賀医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

四面体の各辺上の点は、辺の両端の位置ベクトルを係数の和が1となるように内分した形で表せる。頂点以外の点なので、その2つの係数はいずれも正である。平行四辺形の対角線の端点の位置ベクトルを$\boldsymbol p_1,\boldsymbol p_3$および$\boldsymbol p_2,\boldsymbol p_4$とすると、対角線の中点が一致することから$$\boldsymbol p_1+\boldsymbol p_3=\boldsymbol p_2+\boldsymbol p_4$$が成り立つ。

この4点が乗る四面体の辺を4本選び、$\boldsymbol p_1,\boldsymbol p_3$に対応する辺を一方、$\boldsymbol p_2,\boldsymbol p_4$に対応する辺を他方に分ける。上の等式を四面体の各頂点に関する係数で見ると、各頂点で一方の組の係数の和と他方の組の係数の和が等しい。選ばれた辺がある頂点に1本だけ接していたなら、その辺上の点のその頂点の係数は正である一方、反対側の組にはその頂点の係数がなく、等式に反する。したがって、選ばれた辺が接する各頂点には選ばれた辺が少なくとも2本接する。4本の辺は3頂点以下の間には置けないので4頂点すべてを使い、接続数の合計は$2\times4=8$である。各頂点の接続数はちょうど2となるから、選ばれた4辺は4頂点を一周する形をなす。各頂点で係数の等式が成り立つには、そこに接する2辺上の点が別々の組に属する必要がある。よって一周する4辺上の点は、平行四辺形の対角線の組に交互に分かれる。

(1) 一周する形で隣り合う辺を$XY,YZ$とし、それらの辺上の点を$U,V$とする。頂点$Y$における係数は等しいので、ある$t$$(0<t<1)$を用いて$$\boldsymbol u=(1-t)\boldsymbol x+t\boldsymbol y,\qquad \boldsymbol v=t\boldsymbol y+(1-t)\boldsymbol z$$と表せる。この2点は平行四辺形の隣り合う頂点であり、$$\boldsymbol v-\boldsymbol u=(1-t)(\boldsymbol z-\boldsymbol x)$$だから、辺$UV$は線分$XZ$と平行である。$X,Z$は四面体の頂点なので、$XZ$は四面体の辺である。

(2) 四面体の6辺は、互いに端点を共有しない辺の対$(OA,BC),(OB,CA),(OC,AB)$の3組に分かれる。一周する形の4辺上の点を交互に取った2組は、いずれもこの3組のうちの1組に対応する。4辺の一周する形は、使わない2辺（これも互いに端点を共有しない1組）を決めると定まるので、平行四辺形は3組のうち2組を対角線としてもつ。異なる平行四辺形は異なる一周する形に対応し、したがって異なる2組を対角線にもつ。3組から選んだ異なる2組の集合どうしは1組を共有するから、2つの平行四辺形はその対角線を共有する。

(3) 共有対角線の端点が$OA$上と$BC$上にあるように頂点を付け替え、その点をそれぞれ$P,U$とする。辺 $OB,OC,AB,AC$ 上の残る4点をそれぞれ $Q,R,S,T$ とする。2つの平行四辺形は、それぞれ対角線の組$(P,U),(S,R)$および$(P,U),(T,Q)$をもつ。0より大きく1より小さい実数$x,y,z,u,v,w$を用いて$$\begin{aligned}\overrightarrow{OP}&=x\overrightarrow{OA},&\overrightarrow{OQ}&=y\overrightarrow{OB},&\overrightarrow{OR}&=z\overrightarrow{OC},\\\overrightarrow{OS}&=(1-u)\overrightarrow{OA}+u\overrightarrow{OB},&\overrightarrow{OT}&=(1-v)\overrightarrow{OA}+v\overrightarrow{OC},&\overrightarrow{OU}&=(1-w)\overrightarrow{OB}+w\overrightarrow{OC}\end{aligned}$$とおく。$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$は一次独立なので、$$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OU}=\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{OR}$$から$$x=1-u,\qquad 1-w=u,\qquad w=z$$を得る。同様に、$$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OU}=\overrightarrow{OT}+\overrightarrow{OQ}$$から$$x=1-v,\qquad 1-w=y,\qquad w=v$$を得る。前の組より$u=1-x, w=x, z=x$、後の組より$v=1-x, w=1-x, y=x$である。したがって$x=w=1-x$、すなわち$\displaystyle x=w=\frac12$となり、$\displaystyle y=z=u=v=\frac12$でもある。特に$P,U$はそれぞれ辺$OA,BC$の中点であるから、共有対角線$PU$の中点$M$について$$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac12(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OU})=\frac14\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right).$$頂点の付け替えは対称性によるものなので、求める式は元の$A,B,C$についても成り立つ。