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長崎大学／2024年度／前期

長崎大学 2024年 数学 第2問解答・解説

ベクトル

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1問題

長崎大学2024年度第2問

下図のように，1辺の長さが1の正四面体 OABCOABC がある。2点 P,QP,Q はそれぞれ辺 OC,ABOC,AB 上にあり，線分 PQPQ は辺 OCOC と辺 ABAB に垂直である。

正四面体OABCの図で、上にC、左下にO、右上にB、右下にAがあり、辺OC上のPと辺AB上のQが黒丸で示されている。辺OBと線分PQは破線、ほかの辺は実線で、下に「図」と記されている。

OA→=a→, OB→=b→, OC→=c→\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c} とするとき，以下の問いに答えよ。 　 (1) OP:PC=s:(1−s) (0<s<1)OP:PC=s:(1-s)\ (0<s<1)， AQ:QB=t:(1−t)(0<t<1)AQ:QB=t:(1-t)\quad(0<t<1) とするとき，OP→,OQ→,PQ→\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{PQ} を，s,t,a→,b→,c→s,t,\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} を用いてそれぞれ表せ。 　 (2) PQ⊥OC, PQ⊥ABPQ\perp OC,\ PQ\perp AB の関係から，s,ts,t の値および線分 PQPQ の長さを，それぞれ求めよ。 　 (3) △OAB,△CAB\triangle OAB,\triangle CAB の重心をそれぞれ L,ML,M とする。このとき，OL→\overrightarrow{OL} と OM→\overrightarrow{OM} を a→,b→,c→\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} を用いてそれぞれ表せ。 また，線分 LMLM と △PAB\triangle PAB との交点を NN とする。 LN:NM=u:(1−u)(0<u<1)LN:NM=u:(1-u)\quad(0<u<1) とするとき，ON→\overrightarrow{ON} を u,a→,b→,c→u,\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} を用いて表せ。 　 (4) NN は △PAB\triangle PAB 上にあるので， ON→=αOP→+βOA→+γOB→(α+β+γ=1)\overrightarrow{ON}=\alpha\overrightarrow{OP}+\beta\overrightarrow{OA}+\gamma\overrightarrow{OB}\quad(\alpha+\beta+\gamma=1) とおける。このとき，α,β,γ\alpha,\beta,\gamma の値をそれぞれ求めよ。また，LN:NMLN:NM を求めよ。 　 (5) NN は △PAB\triangle PAB の重心であることを示せ。また，△QLN\triangle QLN の面積 SS を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1) OP→=sc⃗\overrightarrow{OP}=s\vec c, OQ→=(1−t)a⃗+tb⃗\overrightarrow{OQ}=(1-t)\vec a+t\vec b, PQ=...。 (2) s=t=12\displaystyle s=t=\frac12, PQ=12\displaystyle PQ=\frac{1}{\sqrt2}。 (3) OL→=a⃗+b⃗3\displaystyle \overrightarrow{OL}=\frac{\vec a+\vec b}{3}, OM→=a⃗+b⃗+c⃗3\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}, ON→=a⃗+b⃗+uc⃗3\displaystyle \overrightarrow{ON}=\frac{\vec a+\vec b+u\vec c}{3}。 (4) α=β=γ=13\displaystyle \alpha=\beta=\gamma=\frac13, LN:NM=1:1LN:NM=1:1。 (5) Nは△PABの重心、S=272\displaystyle S=\frac{\sqrt2}{72}。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

正四面体の辺長が1なので各位置ベクトルの長さは1。例えば∣b⃗−a⃗∣2=1|\vec b-\vec a|^2=1からa⃗⋅b⃗=1/2\vec a\cdot\vec b=1/2、同様に異なる組の内積も1/2。 (1)(2) OP→=sc⃗,OQ→=(1−t)a⃗+tb⃗\overrightarrow{OP}=s\vec c,\quad \overrightarrow{OQ}=(1-t)\vec a+t\vec b、従ってPQ→=(1−t)a⃗+tb⃗−sc⃗\overrightarrow{PQ}=(1-t)\vec a+t\vec b-s\vec c。PQ→⊥c⃗\overrightarrow{PQ}\perp\vec cからs=1/2s=1/2、PQ→⊥(b⃗−a⃗)\overrightarrow{PQ}\perp(\vec b-\vec a)からt=1/2t=1/2。代入して∣PQ→∣2=1/2|\overrightarrow{PQ}|^2=1/2。 (3) 重心からOL→=a⃗+b⃗3,OM→=a⃗+b⃗+c⃗3\displaystyle \overrightarrow{OL}=\frac{\vec a+\vec b}{3},\quad \overrightarrow{OM}=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}。比LN:NM=u:(1−u)LN:NM=u:(1-u)より ON→=(1−u)OL→+uOM→=a⃗+b⃗+uc⃗3.\displaystyle \overrightarrow{ON}=(1-u)\overrightarrow{OL}+u\overrightarrow{OM}=\frac{\vec a+\vec b+u\vec c}{3}. (4) ON→=αOP→+βOA→+γOB→\overrightarrow{ON}=\alpha\overrightarrow{OP}+\beta\overrightarrow{OA}+\gamma\overrightarrow{OB}、α+β+γ=1\alpha+\beta+\gamma=1と係数比較するとβ=γ=1/3,α/2=u/3\beta=\gamma=1/3,\alpha/2=u/3。和条件からα=1/3\alpha=1/3、従ってu=1/2u=1/2。ON→\overrightarrow{ON}はP,A,Bの位置ベクトルの平均なのでNは三角形PABの重心。 (5) OQ→=a⃗+b⃗2\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\frac{\vec a+\vec b}{2}よりLQ→=a⃗+b⃗6,LN→=c⃗6\displaystyle \overrightarrow{LQ}=\frac{\vec a+\vec b}{6},\quad \overrightarrow{LN}=\frac{\vec c}{6}。従ってLQ=3/6,LN=1/6, LQ⋅LN=1/36LQ=\sqrt3/6,LN=1/6,\ LQ\cdot LN=1/36。cos⁡∠QLN=13\displaystyle \cos\angle QLN=\frac1{\sqrt3}、よって面積 S=12361623=272.\displaystyle S=\frac12\frac{\sqrt3}{6}\frac16\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt2}{72}.

この問題で使う考え方

  • 正四面体の内積
  • 垂直条件を内積化
  • 位置ベクトルの内分・重心
  • 係数比較
  • 内積から面積

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