佐賀大学 2025年数学第2問解答・解説

1問題

佐賀大学2025年度第2問

$O$ を原点とする座標空間上に3点 $A(1,0,0)$ ， $B(0,2,0)$ ， $C(0,0,1)$ をとり，点 $C$ を中心とする半径1の球面を $S$ とする。点 $P$ が $S$ 上を動くとき，次の問に答えよ。

(1) 球面 $S$ の方程式を求めよ。

(2) 点 $Q(a,b,c)$ は，点 $P$ のとり方によらず， $\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}-\overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{CP}=2$ を満たすとする。定数 $a,b,c$ の値を求めよ。

(3) 点 $P$ が $S$ 上を動くときの， $\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}$ と $AP^2+BP^2$ の最大値をそれぞれ求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$x^2+y^2+(z-1)^2=1$
(2)
$a=−1, b=−2, c=2$
(3)
$\displaystyle \max(AP\cdot BP)=5;\quad\max(AP^2+BP^2)=15$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 球面Sは中心C(0,0,1)、半径1だから、中心からの距離の式より $x^2+y^2+(z-1)^2=1$ 。

(2) P=(x,y,z) とする。(1)から x²+y²+z²=2z。したがって AP·BP=(x−1)x+y(y−2)+z²=2z−x−2y。一方 OQ=(a,b,c)、CP=(x,y,z−1) より OQ·CP=ax+by+c(z−1)。差が2になる条件は、球面上の全てのPについて (−1−a)x+(−2−b)y+(2−c)z+c=2。球面上にC±(1,0,0), C±(0,1,0), C±(0,0,1) の6点がある。各±の値がどちらも2なので、対応する座標係数はそれぞれ0。よって −1−a=0, −2−b=0, 2−c=0。定数項も2である必要があり c=2。したがって $a=-1,\ b=-2,\ c=2$ 。この値を代入すると左辺は球面上で恒等的に2となり、必要性と十分性の両方が分かる。

(3) X=(x,y,z−1) と置けば (1)から |X|=1。AP·BP=2+(-1,-2,2)·X なので、内積の不等式から最大値は $2+\sqrt{1+4+4}=5$ 。等号は X=(-1,-2,2)/3 で成立する。また AP²+BP²=4z−2x−4y+5=9+(-2,-4,4)·X。よって最大値は $9+\sqrt{4+16+16}=15$ 。等号条件 X=(-2,-4,4)/6 は先ほどと同じ単位ベクトルなので、両最大値とも実際に球面上で達成する。

この問題で使う考え方

球面の方程式
位置ベクトルの内積計算
係数比較
単位ベクトルへの内積評価

1問題

2答え

3解答

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