1徳島大学 2026年 数学 第1問解答・解説

(1) $\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$ より、 $$11=AB^2=(\vec b-\vec a)\cdot(\vec b-\vec a)=9+4-2\vec a\cdot\vec b.$$ したがって、 $$\vec a\cdot\vec b=1.$$

(2) 角の二等分線の性質から $AC:CB=OA:OB=2:3$ である。よって、 $$\displaystyle \overrightarrow{OC}=\frac{3\vec a+2\vec b}{5}=\frac35\vec a+\frac25\vec b.$$

(3) $\overrightarrow{OD}=k\overrightarrow{OC}$ とおく。$AD\perp OB$ だから $\overrightarrow{AD}\cdot\vec b=0$ であり、 $$\displaystyle \left(k\frac{3\vec a+2\vec b}{5}-\vec a\right)\cdot\vec b=0.$$ $\vec a\cdot\vec b=1$、$\vec b\cdot\vec b=9$ を代入すると、 $$\displaystyle k\frac{3+18}{5}-1=0,\qquad k=\frac5{21}.$$

(4) $\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac12\vec b$ とする。$E$ は線分 $OC$ 上にあるので $\overrightarrow{OE}=t\overrightarrow{OC}$ とおく。また、$E$ は線分 $AM$ 上にあるから、ある実数 $r$ により $$\displaystyle \overrightarrow{OE}=(1-r)\vec a+\frac r2\vec b.$$ $\overrightarrow{OC}=(3\vec a+2\vec b)/5$ を用いて係数を比べると、 $$\displaystyle 1-r=\frac{3t}{5},\qquad \frac r2=\frac{2t}{5}.$$ これより $r=4t/5$ なので $t=5/7$、すなわち $\displaystyle \overrightarrow{OE}=\frac57\overrightarrow{OC}$ である。(3)より $\displaystyle \overrightarrow{OD}=\frac5{21}\overrightarrow{OC}$ だから、 $$\displaystyle DE=\left(\frac57-\frac5{21}\right)|OC|=\frac{10}{21}|OC|.$$ さらに、 $$\displaystyle |OC|^2=\left|\frac{3\vec a+2\vec b}{5}\right|^2=\frac{9\cdot4+12\cdot1+4\cdot9}{25}=\frac{84}{25},\qquad |OC|=\frac{2\sqrt{21}}5.$$ したがって、 $$\displaystyle DE=\frac{10}{21}\cdot\frac{2\sqrt{21}}5=\frac{4\sqrt{21}}{21}.$$