3徳島大学 2026年 数学 第3問解答・解説

(1) $P=(t,t+1/t)$ であり、$C_1$ の導関数は $1-1/x^2$ だから、接線の傾きは $1-1/t^2$ である。点 $P$ を通るので、$$\displaystyle y-(t+1/t)=\left(1-\frac{1}{t^2}\right)(x-t),$$したがって $$\displaystyle \ell:\ y=\left(1-\frac{1}{t^2}\right)x+\frac{2}{t}.$$

(2) $Q$ の $x$ 座標を $s\;(s<0)$ とすると、$$\displaystyle s-\frac{3}{s}=\left(1-\frac{1}{t^2}\right)s+\frac{2}{t}.$$両辺に $t^2s$ を掛けて整理すると $s^2-2ts-3t^2=0$、すなわち $(s-3t)(s+t)=0$ となる。$s<0$、$t>0$ より $s=-t$ であり、$Q=(-t,-t+3/t)$。ゆえに $$\displaystyle |PQ|=\sqrt{(2t)^2+(2t-2/t)^2}=2\sqrt{2t^2-2+\frac{1}{t^2}}.$$

(3) $u=t^2>0$ とおくと、$$\displaystyle \frac{|PQ|^2}{4}=2u-2+\frac{1}{u}=2\sqrt2-2+\left(\sqrt{2u}-\frac{1}{\sqrt{u}}\right)^2\ge 2\sqrt2-2.$$等号は $2u=1/u$、すなわち $u=1/\sqrt2$ のときに成り立つ。$t>0$ より $t=2^{-1/4}$ であり、このとき $|PQ|=2\sqrt{2\sqrt2-2}$。

(4) 以下 $t=2^{-1/4}$ とする。接線の傾きは $m=1-\sqrt2<0$、点 $Q$ の高さは $q=3/t-t>0$ である。$C_2$ の $x$ 軸との交点は $(-\sqrt3,0)$、接線の $x$ 軸との交点は正の側にあるので、求める面積は $$\displaystyle S=\int_{-\sqrt3}^{-t}\left(x-\frac{3}{x}\right)\,dx+\frac{q^2}{2(\sqrt2-1)}.$$第2項は、傾きの大きさが $\sqrt2-1$ で高さが $q$ の三角形の面積である。ここで $$\displaystyle \int_{-\sqrt3}^{-t}\left(x-\frac{3}{x}\right)dx=\left[\frac{x^2}{2}-3\ln|x|\right]_{-\sqrt3}^{-t}=\frac{\sqrt2}{4}-\frac32+\frac34\ln2+\frac32\ln3,$$また $$\displaystyle q^2=\left(\frac3t-t\right)^2=\frac{19\sqrt2-12}{2},\qquad \frac{q^2}{2(\sqrt2-1)}=\frac{26+7\sqrt2}{4}.$$したがって $$\displaystyle S=5+2\sqrt2+\frac34\ln18.$$