III東北医科薬科大学 2023年 数学 第III問解答・解説

(1) $\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\left[\arctan x\right]_0^1=\frac{\pi}{4}$ より，$\boxed{\text{ア}=4}$ である。

(2) $1+x^3=(1+x)(x^2-x+1)$ とおく。与えられた式の右辺を通分すると，分子は $$\displaystyle \frac{1}{a}\bigl\{x^2-x+1-(x+b)(x+1)\bigr\} =\frac{1}{a}\bigl\{(-b-2)x+(1-b)\bigr\}$$ となる。これが恒等的に $1$ であるから，$-b-2=0$，$(1-b)/a=1$ であり，$b=-2,\ a=3$ を得る。分母の二次式は $x^2-x+1$ だから $c=-1,\ d=1$ である。したがって $\boxed{\text{イ}=3,\ \text{ウエ}=-2,\ \text{オカ}=-1,\ \text{キ}=1}$ である。

(3) $q=x^2-x+1$ とおくと，(2) より $$\displaystyle \frac{1}{1+x^3}=\frac13\left(\frac{1}{1+x}-\frac{x-2}{q}\right),\qquad x-2=\frac12(2x-1)-\frac32.$$ したがって $$\displaystyle I=\frac13\left(\int_0^1\frac{dx}{1+x}-\frac12\int_0^1\frac{2x-1}{q}\,dx+\frac32\int_0^1\frac{dx}{q}\right).$$ 最初の積分は $\log 2$，第2項の積分は $\displaystyle \frac12[\log q]_0^1=0$ である。また $\displaystyle q=(x-\frac12)^2+\frac34$ より $$\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{q}=\left[\frac{2}{\sqrt3}\arctan\frac{2x-1}{\sqrt3}\right]_0^1=\frac{2\pi}{3\sqrt3}.$$ よって $\displaystyle I=\frac13\left(\log 2+\frac{\pi}{\sqrt3}\right)$ であり，$\boxed{\text{ク}=3,\ \text{ケ}=2,\ \text{コ}=3}$ である。

(4) 商の微分により $$\displaystyle \left(\frac{x}{1+x^3}\right)'=\frac{1-2x^3}{(1+x^3)^2},\qquad \frac{1}{(1+x^3)^2}=\frac{2}{3(1+x^3)}+\frac13\left(\frac{x}{1+x^3}\right)'.$$ したがって $$\displaystyle J=\frac23 I+\frac13\left[\frac{x}{1+x^3}\right]_0^1 =\frac23\cdot\frac13\left(\log2+\frac{\pi}{\sqrt3}\right)+\frac16 =\frac16+\frac29\left(\log2+\frac{\pi}{\sqrt3}\right).$$ よって $\boxed{\text{サ}=6,\ \text{シ}=2,\ \text{ス}=9,\ \text{セ}=2,\ \text{ソ}=3}$ である。