3兵庫医科大学 2020年 数学 第3問解答・解説

兵庫医科大学 2020年度 数学 Q3

(1) $\displaystyle 2\leq(1+\frac1n)^n<3$

$n$ は正整数なので二項定理を使うと $$\displaystyle \left(1+\frac1n\right)^n =\sum\limits _{j=0}^{n}\binom nj\frac1{n^j}.$$ 各項は非負で、最初の2項は $1$ と $\displaystyle \binom n1/n=1$ である。従って $$\displaystyle \left(1+\frac1n\right)^n\geq2.$$ 一方、$0\leq j\leq n$ に対して $$\displaystyle \binom nj\frac1{n^j} =\frac1{j!}\frac{n(n-1)\cdots(n-j+1)}{n^j} \leq\frac1{j!},$$ （$j=0$ の積は1とする）。また $j\geq1$ なら $j!\geq2^{j-1}$ だから $$\displaystyle \sum\limits _{j=0}^{n}\frac1{j!} \leq1+\sum\limits _{j=1}^{n}\frac1{2^{j-1}} =1+2(1-2^{-n})=3-2^{1-n}<3.$$ ゆえに $$\displaystyle \boxed{2\leq\left(1+\frac1n\right)^n<3}.$$

(2) $300!$ と $100^{300}$ の比較

$\ln x$ は増加関数だから、各整数 $k=1,\ldots,299$ について $$\displaystyle \int_k^{k+1}\ln x\,dx<\ln(k+1).$$ これらを足し合わせると $$\displaystyle \int_1^{300}\ln x\,dx<\sum\limits _{k=2}^{300}\ln k=\ln(300!).$$ 積分を計算して $$\ln(300!)>300\ln300-299 =300\ln100+300\ln3-299.$$ ここで $\ln3>1$ を確認する。$x>1$ に対し $$\displaystyle g(x)=\ln x-\frac{2(x-1)}{x+1}$$ とおくと、$g(1)=0$ かつ $$\displaystyle g'(x)=\frac{(x-1)^2}{x(x+1)^2}>0.$$ 従って $g(3)>0$、すなわち $\ln3>2(3-1)/(3+1)=1$。ゆえに $$300\ln300-299>300\ln100+1>300\ln100.$$ 指数関数は増加するので $$\boxed{300!>100^{300}}.$$

(3) $2020^{2020}$ と $2021^{2019}$ の比較

(1)に $n=2020$ を代入すると $$\displaystyle \left(1+\frac1{2020}\right)^{2020}<3.$$ 底は1より大きいので、指数を2019に下げても値は小さくなり、 $$\displaystyle \left(1+\frac1{2020}\right)^{2019}<3<2020.$$ 従って $$\displaystyle 2021^{2019} =2020^{2019}\left(1+\frac1{2020}\right)^{2019} <2020^{2019}\cdot2020 =2020^{2020}.$$ よって $$\boxed{2020^{2020}>2021^{2019}}.$$

**使用解法:** 二項定理と階乗の簡単な評価、対数の積分による階乗の下界、(1)の指数評価。

**issues:** なし。