3岡山大学 2008年 数学 第3問解答・解説

a$\ge$ 0、nは正の整数とする。$0\le x\le a$において $$\displaystyle F(x)=e^{a-x}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$$ とおくと、 $$\displaystyle \begin{aligned}F'(x)&=-e^{a-x}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n+e^{a-x}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n-1}\\&=-\frac{x}{n}e^{a-x}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n-1}.\end{aligned}$$ したがって、定積分の基本定理より $$\displaystyle \begin{aligned}&\int_0^a e^{a-x}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n dx-\int_0^a e^{a-x}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n-1}dx\\&=-\int_0^a F'(x)\,dx=F(0)-F(a)=e^a-\left(1+\frac{a}{n}\right)^n.\end{aligned}$$ これを移項すれば(1)を得る。

(2)では$1+a/n\ge1$だから、 $$\displaystyle \left(1+\frac{a}{n}\right)^{n-1}\le\left(1+\frac{a}{n}\right)^n.$$ また(1)の差の形から $$\displaystyle e^a-\left(1+\frac{a}{n}\right)^n=\int_0^a\frac{x}{n}e^{a-x}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n-1}dx\ge0,$$ なぜなら積分区間では$x\ge0$、$e^{a-x}>0$、$1+x/n>0$だからである。よって$(1+a/n)^n\le e^a$。

(3)では、(2)で$a$を$x$に置き換えると、$0\le x\le a$に対して $$\displaystyle \left(1+\frac{x}{n}\right)^{n-1}\le\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\le e^x.$$ これと(1)より $$\displaystyle \begin{aligned}e^a-\left(1+\frac{a}{n}\right)^n&=\int_0^a\frac{x}{n}e^{a-x}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n-1}dx\\&\le\int_0^a\frac{x}{n}e^{a-x}e^x dx=\frac{e^a}{n}\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^a=\frac{a^2e^a}{2n}.\end{aligned}$$ したがって(3)が成り立つ。$a=0$では各等式・不等式の両辺が一致し、$a>0$では上の積分の被積分関数が$0<x\le a$で正であり、(3)の比較も$x>0$で厳密なので、各不等式は厳密となる。