2岡山大学 2008年 数学 第2問解答・解説

(1) 漸化式の右辺を整理すると、一般項の候補は $$\displaystyle a_n=\frac{p^{n-1}+q^{n-1}}{2}$$ である。初項では $a_1=(1+1)/2=1$。この式が $n$ で成り立つとすると、 $$\displaystyle a_{n+1}=p\frac{p^{n-1}+q^{n-1}}2+\frac{q-p}{2}q^{n-1} =\frac{p^n+q^n}{2}.$$ よって数学的帰納法により、すべての正整数 $n$ について $$\displaystyle \boxed{a_n=\frac{p^{n-1}+q^{n-1}}2}$$ である。

(2) $m\ge1$ とする。隣り合う奇数番目・偶数番目の項をまとめると、 $$\displaystyle \begin{aligned} S_{2m} &=\sum\limits _{j=1}^m\left(\log\frac{2j+1}{2j-1}-\log\frac{2j+2}{2j}\right)\\ &=\log\left(\prod\limits _{j=1}^m\frac{2j+1}{2j-1}\right) -\log\left(\prod\limits _{j=1}^m\frac{2j+2}{2j}\right)\\ &=\log(2m+1)-\log(m+1) =\log\frac{2m+1}{m+1}. \end{aligned}$$ したがって $\displaystyle \lim\limits _{m\to\infty}S_{2m}=\log2$。また $$\displaystyle S_{2m+1}=S_{2m}+\log\frac{2m+3}{2m+1}, \qquad \lim\limits _{m\to\infty}\log\frac{2m+3}{2m+1}=0,$$ より $\displaystyle \lim\limits _{m\to\infty}S_{2m+1}=\log2$ でもある。偶数・奇数番目までの部分和が同じ値に収束するから、 $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}S_n=\log2}.$$