1岡山大学 2008年 数学 第1問解答・解説

問題文は各人がそれぞれどの数も確率 $1/n$ で選ぶことを定めているが、3人の選択が互いに独立であるとは明記していない。周辺確率だけでは、3人が選んだ組 $(a,b,c)$ の同時分布は決まらない。たとえば、3人が同じ一様な整数 $U$ を共有して $a=b=c=U$ とする場合も各人の選択確率は一様であり、このとき (1) は $1/n$、(2) は $1$、(3) と (4) は $0$ となる。したがって、問題文どおりでは4つの確率に一意の答えがなく、無条件の答えはHOLDとする。

以下では、通常想定される追加条件として、3人が互いに独立に一様選択する場合の値を示す。このとき、全組 $(a,b,c)$ は $n^3$ 通りで同様に確からしい。

(1) 3人とも $n$ を選ばない場合は、各人に $n-1$ 通りあるので $(n-1)^3$ 通りである。余事象を用いて $$\displaystyle 1-\frac{(n-1)^3}{n^3}=\frac{3n^2-3n+1}{n^3}.$$

(2) $a=b$ となる組は、共通の値を $n$ 通りから選び、$c$ を $n$ 通りから選ぶので $n^2$ 通りである。したがって確率は $$\displaystyle \frac{n^2}{n^3}=\frac1n.$$

(3) 同じ数を選ぶ2人の組を3通りから選び、その共通の数を $n$ 通り、残る1人の数をそれと異なる $n-1$ 通りから選ぶ。どの組み合わせも重複しないので、確率は $$\displaystyle \frac{3n(n-1)}{n^3}=\frac{3(n-1)}{n^2}.$$

(4) 相異なる3つの数を選ぶ方法は $\displaystyle \binom n3$ 通りであり、その各集合について $a<b<c$ の順序は1通りだけである。よって確率は $$\displaystyle \frac{\binom n3}{n^3}=\frac{(n-1)(n-2)}{6n^2}.$$