II慶應義塾大学 2011年 数学 第II問解答・解説

$r$ 回の結果を順に並べたものを考えると、全事象は $n^r$ 通りで、各結果は同様に確からしい。

(1) $A\cap\{1,2\}=\varnothing$ となるのは、どの回にも $1,2$ が出ないときである。余事象を考えて $$\displaystyle P(A\cap\{1,2\}\ne\varnothing)=1-\left(\frac{n-2}{n}\right)^r.$$

(2) $A\subset\{1,2\}$ となる事象と $A\subset\{1,3\}$ となる事象の共通部分では、各回に記録される番号はどちらにも属する必要がある。したがって全ての回で $1$ が出る事象である。よって加法定理から $$\displaystyle P(A\subset\{1,2\}\ \text{または}\ A\subset\{1,3\}) =\left(\frac2n\right)^r+\left(\frac2n\right)^r-\left(\frac1n\right)^r =\frac{2^{r+1}-1}{n^r}.$$

(3) 要素がちょうど2個である $A$ を定めるには、まずその2個の番号を $\displaystyle \binom n2$ 通りに選ぶ。選んだ2個だけが出る $r$ 回の並びは $2^r$ 通りで、そのうち一方だけが全ての回に出る2通りを除けば、2個とも少なくとも一度出る。したがって $$\displaystyle P(|A|=2)=\binom n2\frac{2^r-2}{n^r}.$$

(4) $\overline A\subset\{1,2,\ldots,n-2\}$ であることは、$n-1$ と $n$ の両方が $A$ に含まれることと同値である。余事象を用いると $$\displaystyle P(n-1,n\in A) =1-2\left(\frac{n-1}{n}\right)^r+\left(\frac{n-2}{n}\right)^r.$$

(5) $A$ の最大値が $k$ であるのは、全ての記録が $k$ 以下であり、かつ少なくとも一度 $k$ が出るときである。よって $$\displaystyle p_k=\left(\frac{k}{n}\right)^r-\left(\frac{k-1}{n}\right)^r =\frac{k^r-(k-1)^r}{n^r}\qquad (1\le k\le n).$$

(6) $2^x$ は $x$ とともに増加するので、$B$ の最大値は $\displaystyle 2^{\max A}$ である。$r=2$ のとき、(5)より $\displaystyle P(\max A=k)=(2k-1)/n^2$ だから $$\displaystyle E=\frac1{n^2}\sum\limits _{k=1}^n(2k-1)2^k.$$ ここで $\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=1}^n(2k-1)2^k$ とおく。$S_1=2=(-1)2^2+6$ である。また、$n\ge2$ とし、$S_{n-1}=(2n-5)2^n+6$ を仮定すると、 $$S_n=S_{n-1}+(2n-1)2^n =\bigl((2n-5)+(2n-1)\bigr)2^n+6 =(2n-3)2^{n+1}+6.$$ よって帰納法により $S_n=(2n-3)2^{n+1}+6$ であり、 $$\displaystyle E=\frac{(2n-3)2^{n+1}+6}{n^2}.$$