2奈良県立医科大学 2018年 数学 第2問解答・解説

(1) 6番から始めると、1回目に出た目が6のときにゴールし、そうでなければコマは1番から5番のいずれかに移る。現在の位置が1番から6番までのいずれかなら、次にゴールする目は現在の位置と同じ目ただ一つである。また、ゴールしなかったときの位置も1番から5番までである。したがって各回にゴールしない確率は$5/6$、次の回にゴールする確率は$1/6$であるから、 $$\displaystyle P_n=\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}\frac{1}{6}=\frac{1}{6}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}.$$

(2) 9番から1回振った後の位置は、出目が1,2,3,4,5,6の順に8,7,6,5,4,3番であり、1回目にゴールすることはない。2回目に初めてゴールするには、1回目に3番から6番のいずれかへ移り、2回目にその位置と同じ目を出せばよい。該当する出目の組は4通りなので、 $$\displaystyle Q_2=\frac{4}{6^2}=\frac{1}{9}.$$

2回目までゴールしていない出目の組を数える。1回目に8番へ移った場合、2回目の出目が1なら位置7番、2から6なら位置6番から2番となる。1回目に7番へ移った場合は、2回目の位置は1番から6番のいずれかである。1回目に3番から6番へ移った場合、2回目にゴールする出目が各場合に1通りずつあり、それ以外の5通りでは1番から5番にいる。よって2回目を終えて生き残る32通りのうち、31通りは1番から6番に、残る1通りは7番にいる。3回目に初めてゴールするのは前者の31通りからそれぞれ1通りずつなので、 $$\displaystyle Q_3=\frac{31}{6^3}=\frac{31}{216}.$$

3回目を終えてもゴールしていない出目列は、1番から6番にいる31通りからは各5通り、7番にいる1通りからは6通り生じる。したがってその総数は$31\cdot5+6=161$通りである。これらはすべて1番から6番にいる。以後は、各回に現在の位置と同じ目が出る確率$1/6$でゴールし、残る確率$5/6$でゴールせず1番から5番に移る。したがって、$n\ge4$に対して $$\displaystyle Q_n=\frac{161}{6^4}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-4}=\frac{161}{1296}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-4}.$$

最後に$r=5/6$、$m=n-4$とおくと、 $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}kQ_k=2Q_2+3Q_3+\frac{161}{1296}\sum\limits _{j=0}^{m}(j+4)r^j.$$ 有限等比和とその各項に番号を掛けた和は $$\displaystyle \sum\limits _{j=0}^{m}r^j=\frac{1-r^{m+1}}{1-r},\qquad \sum\limits _{j=0}^{m}jr^j=\frac{r-(m+1)r^{m+1}+mr^{m+2}}{(1-r)^2}.$$ 問題文で許されている$mr^m\to0$を用いると、$\displaystyle \sum\limits _{j=0}^{m}r^j\to6$、$\displaystyle \sum\limits _{j=0}^{m}jr^j\to30$である。よって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\sum\limits _{k=1}^{n}kQ_k=2\cdot\frac{1}{9}+3\cdot\frac{31}{216}+\frac{161}{1296}(30+4\cdot6) =\frac{47}{72}+\frac{161}{24}=\frac{265}{36}.$$