6奈良県立医科大学 2018年 数学 第6問解答・解説

(1)　 $$\begin{aligned} x^4+2x^3+2x^2+2x+1 &=(x^2+1)(x^2+2x+1)\\ &=(x^2+1)(x+1)^2. \end{aligned}$$ 　 よって、求める因数分解は $(x+1)^2(x^2+1)$ である。実際に展開すると、もとの整式に戻る。 　 (2)　 $n$ を正整数とし、$a=n^2+n$ とおく。$a$ は正整数であり、 $$a^2=n^4+2n^3+n^2,\qquad (a+1)^2=n^4+2n^3+3n^2+2n+1.$$ したがって、 $$\begin{aligned} (n^4+2n^3+2n^2+2n+1)-a^2&=(n+1)^2>0,\\ (a+1)^2-(n^4+2n^3+2n^2+2n+1)&=n^2>0. \end{aligned}$$ ゆえに $$a^2<n^4+2n^3+2n^2+2n+1<(a+1)^2.$$ $a$ と $a+1$ は連続する整数なので、整数 $m$ は $m\leq a$ または $m\geq a+1$ のいずれかを満たす。前者なら $m^2\leq a^2$、後者なら $m^2\geq(a+1)^2$ である。したがって、上の不等式の間に平方数 $m^2$ はなく、任意の正整数 $n$ について与式は平方数ではない。