4奈良県立医科大学 2018年 数学 第4問解答・解説

(1) 積の微分法と合成関数の微分法より、$n\geq 2$に対して $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{d}{dx}\left(\cos^{n-1}x\sin x\right) &=-(n-1)\cos^{n-2}x\sin^2x+\cos^n x\\ &=-(n-1)\cos^{n-2}x\left(1-\cos^2x\right)+\cos^n x\\ &=-(n-1)\cos^{n-2}x+n\cos^n x. \end{aligned}$$ したがって、$\alpha=-(n-1)$、$\beta=n$である。

(2) この等式を$x=0$から$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$まで積分する。左辺の積分は $$\left[\cos^{n-1}x\sin x\right]_{0}^{\pi/2}=0$$ である。実際、$x=0$では$\sin x=0$、$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$では$n-1\geq 1$より$\cos^{n-1}x=0$となる。よって $$0=-(n-1)a_{n-2}+na_n$$ であり、 $$\displaystyle a_n=\frac{n-1}{n}a_{n-2}$$ を得る。

(3) 初期値は $$\displaystyle a_0=\int_0^{\pi/2}1\,dx=\frac{\pi}{2},\qquad a_1=\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx=1$$ である。$P_n=a_{n+1}a_n$とおくと、$n\geq 2$に対して(2)を$n+1$および$n$に適用して $$\displaystyle P_n=\left(\frac{n}{n+1}a_{n-1}\right) \left(\frac{n-1}{n}a_{n-2}\right) =\frac{n-1}{n+1}P_{n-2}$$ となる。また、 $$\displaystyle P_0=a_1a_0=\frac{\pi}{2},\qquad P_1=a_2a_1=\frac{1}{2}a_0a_1=\frac{\pi}{4}.$$ この漸化式は添字を2ずつ下げるので、偶数番目と奇数番目に分けて帰納的に求める。$\displaystyle P_{n-2}=\frac{\pi}{2(n-1)}$を用いれば $$\displaystyle P_n=\frac{n-1}{n+1}\cdot\frac{\pi}{2(n-1)} =\frac{\pi}{2(n+1)}.$$ 初期値$P_0,P_1$もこの式と一致するから、すべての$n\geq0$で $$\displaystyle a_{n+1}a_n=\frac{\pi}{2(n+1)}$$ である。$n=0,1,2$ではそれぞれ$\displaystyle \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{6}$となり、初期値および漸化式から得る値とも一致する。