4名古屋市立大学 2026年 数学 第4問解答・解説

(1) 区間 $1\leq x\leq \pi$ では $\displaystyle \sin\frac{x}{2}>0$ である。正弦の差を積和公式で変形すると、$k\geq1$ に対して $$\displaystyle \begin{aligned} f_k(x)-f_{k-1}(x) &=\frac{\sin\frac{2k+1}{2}x-\sin\frac{2k-1}{2}x}{2\sin\frac{x}{2}}\\ &=\frac{2\cos kx\sin\frac{x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}}=\cos kx. \end{aligned}$$

(2) 定義から $\displaystyle f_0(x)=\frac12$ であり、(1)を $k=1,2,\ldots,n$ について足すと $$\displaystyle f_n(x)=f_0(x)+\sum\limits _{k=1}^{n}\{f_k(x)-f_{k-1}(x)\} =\frac12+\sum\limits _{k=1}^{n}\cos kx.$$ したがって、有限和の積分と $\displaystyle \int\cos kx\,dx=\frac{\sin kx}{k}$ を用いて $$\displaystyle \begin{aligned} I_n&=\int_1^\pi f_n(x)\,dx\\ &=\frac{\pi-1}{2}+\sum\limits _{k=1}^{n}\left[\frac{\sin kx}{k}\right]_1^\pi\\ &=\frac{\pi-1}{2}-\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{\sin k}{k}, \end{aligned}$$ となる。よって $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\frac{\sin k}{k}=\frac{\pi-1}{2}-I_n.$$

(3) $\displaystyle N=n+\frac12$、$\displaystyle g(x)=\frac{1}{2\sin(x/2)}$ とおくと、 $$\displaystyle I_n=\int_1^\pi g(x)\sin(Nx)\,dx$$ である。$1\le x\le\pi$ の範囲では $\sin(x/2)>0$、$\cos(x/2)\geq0$ だから、 $$\displaystyle g'(x)=-\frac{\cos(x/2)}{4\sin^2(x/2)}\leq0.$$ ここで部分積分を行うと $$\displaystyle I_n=-\left[\frac{g(x)\cos(Nx)}{N}\right]_1^\pi +\frac1N\int_1^\pi g'(x)\cos(Nx)\,dx.$$ したがって $|\cos(Nx)|\leq1$ と $g'(x)\leq0$ より $$\displaystyle \begin{aligned} |I_n|&\leq\frac{g(1)+g(\pi)}{N} +\frac1N\int_1^\pi\{-g'(x)\}\,dx\\ &=\frac{g(1)+g(\pi)+g(1)-g(\pi)}{N} =\frac{2g(1)}{N} =\frac{1}{(n+\frac12)\sin\frac12}. \end{aligned}$$ 右辺は $n\to\infty$ で $0$ に収束するので、はさみうちにより $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}I_n=0.$$

(4) $\displaystyle S_n=\displaystyle\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{\sin k}{k}$ とおく。(2)、(3)から $$\displaystyle S_n=\frac{\pi-1}{2}-I_n\longrightarrow\frac{\pi-1}{2} \quad(n\to\infty).$$ これは部分和列の極限であるから、無限級数は収束し、その和は $\displaystyle\frac{\pi-1}{2}$ である。