4昭和大学 2017年 数学 第4問解答・解説

(1) $a+b=1$ より $$2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=1-3=-2$$ なので $ab=-1$ である。$S_n=a^n+b^n$ とおくと、$n\ge2$ に対し $$S_n=(a+b)S_{n-1}-abS_{n-2}=S_{n-1}+S_{n-2}.$$ ここで $S_0=2,\ S_1=1$ だから $$S_2=3,\quad S_3=4,\quad S_4=7,\quad S_5=11,\quad S_6=18,\quad S_7=29.$$ したがって $a^7+b^7=29$ である。

(2) $u=\sqrt[3]{k+1},\ v=\sqrt[3]{k}$ とおくと、問題の分母は $u^2+uv+v^2$ である。また $$(u-v)(u^2+uv+v^2)=u^3-v^3=(k+1)-k=1$$ だから、各項は $$\displaystyle \frac{1}{u^2+uv+v^2}=u-v=\sqrt[3]{k+1}-\sqrt[3]{k}$$ と変形できる。よって和は順に消去し合い、 $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{215}\left(\sqrt[3]{k+1}-\sqrt[3]{k}\right) =\sqrt[3]{216}-\sqrt[3]{1}=6-1=5.$$

(3) $u=2x-y,\ v=x+y$ とおくと、条件の左辺は $$2x^2+xy-y^2-5x+4y-3=(u+1)(v-3)$$ と因数分解できる。積が0以上だから、$u+1\ge0,\ v-3\ge0$ または $u+1\le0,\ v-3\le0$ である。 前者では $x+y=v\ge3$ であり、 $$2(x^2+y^2)-(x+y)^2=(x-y)^2\ge0$$ から $x^2+y^2\ge9/2$ となる。 後者では $2x-y=u\le-1$ なので、 $$5(x^2+y^2)-(2x-y)^2=(x+2y)^2\ge0$$ より $x^2+y^2\ge1/5$ である。点 $(x,y)=(-2/5,1/5)$ では $u=-1$ となって条件を満たし、$x^2+y^2=1/5$ である。したがって最小値は $1/5$ である。

(4) $f'(x)=1-a\sin x$ である。$0<1/a<1$ だから、ある $\theta\ (0<\theta<\pi/2)$ を用いて $\sin\theta=1/a$ とおける。臨界点は $\theta,\ \pi-\theta$ であり、導関数の符号は順に正、負、正となる。ゆえに $\theta$ で極大、$\pi-\theta$ で極小をとる。 $$a\cos\theta=\sqrt{a^2-1}$$ なので、極小値が1であるという条件は $$f(\pi-\theta)=\pi-\theta-\sqrt{a^2-1}=1$$ である。したがって極大値は $$f(\theta)=\theta+\sqrt{a^2-1} =\theta+(\pi-\theta-1)=\pi-1.$$

(5) 曲線は $-3\le x\le0$ で $$\displaystyle y=\pm\frac{(x+3)^{3/2}}{3}$$ と表される。各枝について $$\displaystyle \left|\frac{dy}{dx}\right|=\frac{\sqrt{x+3}}{2}$$ だから、1本の枝の長さは、弧長の公式を用いて $$\displaystyle \int_{-3}^{0}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx =\frac12\int_0^3\sqrt{u+4}\,du =\frac{7\sqrt7-8}{3}, \qquad (u=x+3)$$ である。2本の枝の長さに、$x=0$ 上の線分の長さ $2\sqrt3$ を加えると、周の長さは $$\displaystyle 2\cdot\frac{7\sqrt7-8}{3}+2\sqrt3 =\frac{14\sqrt7-16}{3}+2\sqrt3.$$