2昭和大学 2017年 数学 第2問解答・解説

1回の賭けの結果を、偶数の目なら $U$（損益が $+1$）、奇数の目なら $D$（損益が $-1$）と表す。各回は独立で、$U,D$ の確率はともに $\displaystyle \frac12$ である。したがって4回の経路は16通りが同様に確からしい。

(1) 経路ごとの最大値でまとめると $$\displaystyle \begin{array}{c|l|c|c} M_4&\text{経路}&\text{個数}&P(M_4=k)\\ \hline 0&\texttt{DUDU,DUDD,DDUU,DDUD,DDDU,DDDD}&6&\frac6{16}=\frac38\\ 1&\texttt{UDUD,UDDU,UDDD,DUUD}&4&\frac4{16}=\frac14\\ 2&\texttt{UUDU,UUDD,UDUU,DUUU}&4&\frac4{16}=\frac14\\ 3&\texttt{UUUD}&1&\frac1{16}\\ 4&\texttt{UUUU}&1&\frac1{16} \end{array}$$ ここで最大値には $Z_0=0$ も含めている。

(2) $T_4$ は、経路が高さ0と1の間を移る回数である。同じ16経路をこの回数でまとめると $$\displaystyle \begin{array}{c|l|c|c} T_4&\text{経路}&\text{個数}&P(T_4=k)\\ \hline 0&\texttt{DUDU,DUDD,DDUU,DDUD,DDDU,DDDD}&6&\frac6{16}=\frac38\\ 1&\texttt{UUUU,UUUD,UUDU,DUUU}&4&\frac4{16}=\frac14\\ 2&\texttt{UUDD,UDDU,UDDD,DUUD}&4&\frac4{16}=\frac14\\ 3&\texttt{UDUU}&1&\frac1{16}\\ 4&\texttt{UDUD}&1&\frac1{16} \end{array}$$

(3) 5回の全経路は $2^5=32$ 通りである。最大値を数えるため、$A_r(h,m)$ を「$r$ 回後の損益が $h$、そこまでの最大値が $m$ である経路数」とする。初期値は $A_0(0,0)=1$ であり、各状態から次の1回について $$\displaystyle A_{r+1}(h+1,\max(m,h+1))\mathrel{+}=A_r(h,m),\qquad A_{r+1}(h-1,m)\mathrel{+}=A_r(h,m)$$ と更新する。次に、$B_r(h,t)$ を「$r$ 回後の損益が $h$、横断回数が $t$ である経路数」とする。初期値は $B_0(0,0)=1$。高さ $h$ からの上向きの移動では $h=0$ のときだけ回数を1増やし、下向きの移動では $h=1$ のときだけ1増やすので、 $$\begin{array}{ll} B_{r+1}(h+1,t+1)\mathrel{+}=B_r(h,t)&(h=0),\\ B_{r+1}(h+1,t)\mathrel{+}=B_r(h,t)&(h\ne0),\\ B_{r+1}(h-1,t+1)\mathrel{+}=B_r(h,t)&(h=1),\\ B_{r+1}(h-1,t)\mathrel{+}=B_r(h,t)&(h\ne1). \end{array}$$ これらを $r=0$ から $5$ まで順に計算して高さ $h$ について合計すると、 $$\displaystyle \begin{array}{c|rrrrrr} k&0&1&2&3&4&5\\ \hline \displaystyle\sum\limits _h A_5(h,k)&10&10&5&5&1&1\\ \displaystyle\sum\limits _h B_5(h,k)&10&10&5&5&1&1 \end{array}$$ となる。全経路が同様に確からしいので、$k=0,1,2,3,4,5$ の各場合で $P(M_5=k)=P(T_5=k)$ であり、これらの値は順に $\displaystyle \frac{10}{32},\frac{10}{32},\frac5{32},\frac5{32},\frac1{32},\frac1{32}$ である。どちらの変数もこの範囲外の値を取らないから、それ以外の整数 $k$ でも両確率は等しく0である。