2東京大学 2017年 数学 第2問解答・解説

各時刻での位置を $(X_t,Y_t)$ とし、$D_t=X_t-Y_t$ とおく。東または南へ進むと $D_t$ は $1$ 増加し、北または西へ進むと $1$ 減少する。いずれも確率は $1/2$ で、各時刻の増減は独立である。

(1) 6秒後に $y=x$ 上にあることは $D_6=0$ と同値である。6回の増減のうち $+1$ が3回、$-1$ が3回であればよいから、求める確率は $$\displaystyle \frac{\binom{6}{3}}{2^6}=\frac{20}{64}=\frac{5}{16}.$$

(2) 6秒後に原点に戻るには、東・西の回数が等しく、北・南の回数も等しくなければならない。東と西の回数をそれぞれ $r$ 回、北と南の回数をそれぞれ $s$ 回とすると、$r+s=3$ である。各 $(r,s)$ に対する経路数を数えると $$\displaystyle \sum\limits _{r=0}^{3}\frac{6!}{(r!)^2((3-r)!)^2} =20+180+180+20=400.$$ 6回の移動列は全部で $4^6$ 通りあり、どの列も同じ確率なので、求める確率は $$\displaystyle \frac{400}{4^6}=\frac{400}{4096}=\frac{25}{256}.$$