4東京大学 2017年 数学 第4問解答・解説

$r=-1/p$ とおくと、$p=2+\sqrt5,\ r=2-\sqrt5$ であり $$p+r=4,\qquad pr=-1,\qquad a_n=p^n+r^n.$$ したがって $$a_1=p+r=4,\qquad a_2=p^2+r^2=(p+r)^2-2pr=16+2=18.$$

(2)　 $n\ge2$ に対し $$\begin{aligned} a_1a_n &=(p+r)(p^n+r^n)\\ &=p^{n+1}+r^{n+1}+pr(p^{n-1}+r^{n-1})\\ &=a_{n+1}-a_{n-1}, \end{aligned}$$ ここで $pr=-1$ を用いた。

(3)　 $a_1=4,\ a_2=18$ は自然数である。(2) と $a_1=4$ から、$n\ge2$ で $$a_{n+1}=4a_n+a_{n-1}.$$ よって、連続する二項 $a_{n-1},a_n$ が自然数なら $a_{n+1}$ も自然数である。初項 $a_1,a_2$ を基に帰納法を適用すれば、すべての $n\ge1$ で $a_n$ は自然数である。

(4)　 $n\ge2$ では $$\gcd(a_{n+1},a_n) =\gcd(4a_n+a_{n-1},a_n) =\gcd(a_{n-1},a_n).$$ これを繰り返すと $$\gcd(a_{n+1},a_n)=\gcd(a_2,a_1)=\gcd(18,4)=2.$$ したがって、求める最大公約数は常に $2$ である。