5九州大学 2015年 数学 第5問解答・解説

解答 (1) $n$ は正の偶数なので、正の整数 $m$ を用いて $n=2m$ と書ける。すると $$2^n-1=4^m-1=(4-1)(4^{m-1}+4^{m-2}+\cdots+4+1)$$ であるから、$2^n-1$ は $3$ の倍数である。

(2) 日本の高校数学で通常用いる自然数 $n=1,2,\ldots$ について示す。$d=\gcd(2^n+1,2^n-1)$ とおくと、$d$ は差 $$(2^n+1)-(2^n-1)=2$$ を割り切るので、$d=1$ または $d=2$ である。一方、$n\ge1$ なら $2^n-1$ は奇数だから、$d$ は奇数であり、$d=2$ は除かれる。よって $$\gcd(2^n+1,2^n-1)=1.$$ 注：自然数に $0$ も含める定義を採る場合は、$n=0$ で $\gcd(2,0)=2$ となり、この主張は成立しない。原文にその定義を指定する記載はないため、ここでは高校数学の通常の正の整数の約束を用いた。

(3) $p=2$ なら $2^{p-1}-1=1$ だが $pq^2=2q^2>1$ となり、不可能である。また $p=3$ なら $3=3q^2$ より $q^2=1$ となり、$q$ が素数であることに反する。したがって $p\ge5$ は奇素数で、$p-1$ は正の偶数である。(1) を $n=p-1$ に適用すると $$3\mid 2^{p-1}-1=pq^2.$$ $p\ne3$ だから $3\mid q^2$、よって素数 $q=3$ である。元の式は $$2^{p-1}-1=9p$$ となる。$p=5$ では左辺は $15$ で右辺は $45$ となり不成立である。$p=7$ では $2^6-1=63=9\cdot7$ で成立する。

$p\ge11$ では等式が成り立たないことを示す。整数 $m\ge11$ について、$m=11$ では $$2^{m-1}-1=2^{10}-1=1023>99=9m.$$ また、ある $m\ge11$ で $2^{m-1}-1>9m$ とすると $$2^m-1=2(2^{m-1}-1)+1>18m+1>9(m+1)$$ だから、数学的帰納法により $2^{m-1}-1>9m$ はすべての $m\ge11$ で成り立つ。したがって素数 $p\ge11$ は $2^{p-1}-1=9p$ を満たさない。以上から唯一の組は $$\boxed{(p,q)=(7,3)}.$$