4東京大学 2012年 数学 第4問解答・解説

(1) 連続する2個の自然数を $m,m+1$（$m\ge1$）とする。$\gcd(m,m+1)=\gcd(m,1)=1$。もし $m(m+1)=t^n$ ならば、互いに素な2因数の素因数指数はそれぞれ積の中でも変わらない。積が$n$乗数であるため各指数は$n$の倍数であり、$m=u^n,\ m+1=v^n$（$u,v$ は自然数）となる。$v>u$ だから$1=v^n-u^n\ge (u+1)^n-u^n>1$となり矛盾する。

(2) 連続する$n$個の自然数を $m,m+1,\ldots,m+n-1$（$m\ge1$）とする。積が$t^n$であると仮定すると、$n\ge2$より$\displaystyle m^n<\prod\limits _{j=0}^{n-1}(m+j)<(m+n-1)^n$。したがって$m<t<m+n-1$。

$n=2$ならば$m<t<m+1$を満たす整数$t$はない。$n\ge3$ならば、整数$t$は積を構成する$n$個の数のうちの1つであり、$t<m+n-1$なので$t+1$もその積の因数である。積から因数$t$を除くと、残りの積は$t^{n-1}$となる。よって$t+1\mid t^{n-1}$だが、$\gcd(t,t+1)=1$かつ$t+1>1$なので不可能である。いずれの場合も仮定に矛盾する。