東京大学
2012年度の数学東京大学・全6問
- 1次の連立不等式で定まる座標平面上の領域 D を考える。 x²+(y-1)²≤ 1, x≥ √2/3. 直線 は原点を通り，D との共通部分が線分となるものとする。その線分の長さ L の最大値を…
- 2図のように，正三角形を9つの部屋に辺で区切り，部屋P，Qを定める。1つの球が部屋Pを出発し，1秒ごとに，そのままその部屋にとどまることなく，辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する。球がn秒後に…
- 3座標平面上で2つの不等式 y≥ 1/2x², x²4+4y²≤ 1/8 によって定まる領域を S とする。S を x 軸のまわりに回転してできる立体の体積を V1 とし，y 軸のまわりに回転し…
- 4n を2以上の整数とする。自然数（1以上の整数）の n 乗になる数を n 乗数と呼ぶことにする。以下の問いに答えよ。 (1) 連続する2個の自然数の積は n 乗数でないことを示せ。 (2) 連…
- 5行列 A= a b c d が次の条件(D)を満たすとする。 (D) A の成分 a，b，c，d は整数である。また，平面上の4点 (0,0)，(a,b)，(a+c,b+d)，(c,d) は，…
- 62×2行列 P= p q r s に対して Tr(P)=p+s と定める。 a，b，c は a ≥ b>0，0 ≤ c ≤ 1 を満たす実数とする。行列 A，B，C，D を次で定める。 A= …