東京大学
2010年度の数学東京大学・全6問
- 13辺の長さがaとbとcの直方体を、長さがbの1辺を回転軸として90°回転させるとき、直方体が通過する点全体がつくる立体をVとする。 (1) Vの体積をa、b、cを用いて表せ。 (2) a+b+…
- 2(1) すべての自然数kに対して、次の不等式を示せ。 1/[2(k+1)] < ∫₀¹ (1−x)/(k+x) dx < 1/(2k) (2) m>nであるようなすべての自然数mとnに対して、…
- 32つの箱LとR、ボール30個、コイン投げで表と裏が等確率1/2で出るコイン1枚を用意する。xを0以上30以下の整数とする。Lにx個、Rに30−x個のボールを入れ、次の操作(#)を繰り返す。 (…
- 4Oを原点とする座標平面上の曲線 C: y = (1/2)x + √((1/4)x² + 2) と、その上の相異なる2点P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)を考える。 (1) Pᵢ (i=1,…
- 5Cを半径1の円周とし、AをC上の1点とする。3点P、Q、RがAを時刻t=0に出発し、C上を各々一定の速さで、P、Qは反時計回りに、Rは時計回りに、時刻t=2πまで動く。P、Q、Rの速さは、それ…
- 6四面体OABCにおいて、4つの面はすべて合同であり、OA=3、OB=√7、AB=2であるとする。また、3点O、A、Bを含む平面をLとする。 (1) 点Cから平面Lにおろした垂線の足をHとおく。…