4東京大学 2010年 数学 第4問解答・解説

曲線上では $y>0$ であり、 $$\displaystyle y=\frac{x}{2}+\sqrt{\frac{x^2}{4}+2}$$ を二乗して整理すると $$\displaystyle y^2-xy=2,\qquad x=y-\frac{2}{y}$$ を得る。

$\text{(1)}$ $H_i=(y_i,y_i)$ であり、$P_iH_i$ は水平線分である。したがって $\triangle OP_iH_i$ の面積は $$\displaystyle \frac12\,y_i\,|y_i-x_i| =\frac12\,|y_i^2-x_i y_i| =\frac12\cdot2=1$$ である。これは $i=1,2$ のいずれにも成り立つので、二つの面積は等しい。

$\text{(2)}$ $x=y-2/y$ は $y>0$ で $$\displaystyle \frac{dx}{dy}=1+\frac{2}{y^2}>0$$ だから、$x_1<x_2$ より $0<y_1<y_2$ である。直線 $OP_i$ は $$\displaystyle x=\frac{x_i}{y_i}y =\left(1-\frac{2}{y_i^2}\right)y$$ と表せる。$q_i=1-2/y_i^2$ とおくと $q_1<q_2$ である。

高さ $y$ が $0\leq y\leq y_1$ の部分では、領域の左右の境界はそれぞれ直線 $OP_1,OP_2$ である。$y_1\leq y\leq y_2$ では、左境界は曲線 $x=y-2/y$、右境界は直線 $OP_2$ である。実際、 $$\displaystyle q_2y-\left(y-\frac2y\right) =\frac{2(y_2^2-y^2)}{y\,y_2^2}\geq0$$ である。よって面積 $S$ は $$\displaystyle \begin{aligned} S &=\int_0^{y_1}(q_2-q_1)y\,dy +\int_{y_1}^{y_2}\left(q_2y-\left(y-\frac2y\right)\right)dy\\ &=\left(1-\frac{y_1^2}{y_2^2}\right) +\left(2\log\frac{y_2}{y_1}-1+\frac{y_1^2}{y_2^2}\right)\\ &=2\log\frac{y_2}{y_1}. \end{aligned}$$ ここで $\log$ は自然対数である。