1東京大学 2010年 数学 第1問解答・解説

軸に垂直な断面を考え、回転軸上の点を $O$ とする。この断面は、$O$ を頂点とする辺の長さ $a,c$ の長方形である。その対角線の長さを $R=\sqrt{a^2+c^2}$ とする。長方形を $90^\circ$ 回転させると、対角線の反対側の頂点は半径 $R$ の $90^\circ$ の円弧を描く。したがって掃過領域の中央部分は半径 $R$、中心角 $90^\circ$ の扇形であり、始点側と終点側には脚の長さが $a,c$ の直角三角形が一つずつ付く。これらの内部は重ならないので、断面積は $$\displaystyle A=\frac{\pi R^2}{4}+2\cdot\frac{ac}{2} =\frac{\pi}{4}(a^2+c^2)+ac.$$ この断面が軸方向に長さ $b$ だけ続くから、 $$\displaystyle V=bA=b\left(ac+\frac{\pi}{4}(a^2+c^2)\right).$$

次に $s=a+c=1-b$, $p=ac$ とおく。$a,c>0$ より $p>0$ であり、$a^2+c^2=s^2-2p$ だから、 $$\displaystyle V=b\left\{\frac{\pi}{4}(1-b)^2+\left(1-\frac{\pi}{2}\right)p\right\}.$$ ここで $\displaystyle 1-\frac{\pi}{2}<0$ なので $$\displaystyle 0<V<\frac{\pi}{4}b(1-b)^2.$$ $f(b)=b(1-b)^2$ とすると $$f'(b)=(1-b)(1-3b).$$ したがって $\displaystyle 0<b<\frac13$ で $f$ は増加し、$\displaystyle \frac13<b<1$ で減少する。よって $\displaystyle f(b)\le f(\frac13)=\frac4{27}$ であり、$\displaystyle V<\frac{\pi}{27}$ となる。

下端に近づくには $\displaystyle a=c=\frac{1-b}{2}$ として $b\to0+$ とすればよく、このとき $V\to0$ である。上端に近づくには $\displaystyle b=\frac13$, $a=\varepsilon$, $\displaystyle c=\frac23-\varepsilon$ として $\varepsilon\to0+$ とすればよく、このとき $\displaystyle V\to\frac{\pi}{27}$ である。いずれも辺の長さが正である間は端点に達しない。

さらに、任意の $L$ を $\displaystyle 0<L<\frac{\pi}{27}$ とする。上の二つの近づけ方により、$V<L$ となる正の三つ組と $V>L$ となる正の三つ組を選べる。その二つを結ぶ線分上でも各辺の長さは正で、和は $1$ のままである。$V$ はその線分上で連続だから、中間値の定理により $V=L$ となる点がある。したがって体積の範囲は $$\displaystyle 0<V<\frac{\pi}{27}.$$