6東京大学 2010年 数学 第6問解答・解説

面 $OAB$ の辺長 $3,\sqrt7,2$ は互いに異なる。面 $OAC$ もこれと合同で辺 $OA=3$ を共有するから $\{AC,OC\}=\{\sqrt7,2\}$。面 $OBC$ も合同で辺 $OB=\sqrt7$ を共有するから $\{OC,BC\}=\{3,2\}$。したがって $OC=2,\ AC=\sqrt7,\ BC=3$。

(1) $\mathbf a=\overrightarrow{OA},\ \mathbf b=\overrightarrow{OB},\ \mathbf c=\overrightarrow{OC}$ とおく。辺の長さから $\mathbf a\cdot\mathbf b=6,\ \mathbf a\cdot\mathbf c=3,\ \mathbf b\cdot\mathbf c=1$。$H$ は平面 $L$ 上への $C$ の正射影なので $\overrightarrow{OH}=x\mathbf a+y\mathbf b$ とおけば、$\overrightarrow{CH}$ は $\mathbf a,\mathbf b$ の両方に垂直である。よって $9x+6y=3,\ 6x+7y=1$ となり、$x=5/9,\ y=-1/3$。したがって $\displaystyle \overrightarrow{OH}=\frac59\overrightarrow{OA}-\frac13\overrightarrow{OB}$。さらに $\displaystyle |OH|^2=\overrightarrow{OH}\cdot\mathbf c=\frac59\cdot3-\frac13\cdot1=\frac43$ なので、$\displaystyle CH^2=OC^2-OH^2=4-\frac43=\frac83$、すなわち $\displaystyle d=CH=\frac{2\sqrt6}{3}$。

(2) 平面 $L$ 上の点を $u\mathbf a+v\mathbf b$ と表すと、$P_tQ_t$ は $u+v=t$ を満たす直線上にある。$C$ の正射影 $H$ の係数和は $5/9-1/3=2/9$ である。平面 $M$ はこの直線を含み $L$ に垂直だから、以下のように切り口が変わる。

$0<t\le2/9$ のとき、切り口は $P_t,Q_t$ と辺 $OC$ 上の点 $R_t$ を頂点とする三角形である。$R_t=\lambda C$ とすると、その正射影の係数和は $2\lambda/9$ なので $\lambda=9t/2$。また $P_tQ_t=t\,AB=2t$ であり、$R_t$ の $L$ からの高さは $\lambda d$。よって $\displaystyle S(t)=\frac12(2t)(\frac{9t}{2}d)=3\sqrt6\,t^2$。

$2/9<t<1$ のとき、切り口は $P_t,Q_t$ と辺 $AC,BC$ 上の点 $R_t,S_t$ を頂点とする台形である。$R_t=(1-\lambda)A+\lambda C$ とおくと、正射影の係数和は $1-\lambda+2\lambda/9=1-7\lambda/9$ だから $\lambda=9(1-t)/7$。同じ $\lambda$ で $S_t=(1-\lambda)B+\lambda C$ となる。従って $R_tS_t\parallel P_tQ_t$、$R_tS_t=2(1-\lambda)$、台形の高さは $\lambda d$ である。ゆえに $\displaystyle S(t)=\frac{2t+2(1-\lambda)}2\lambda d=\frac{12\sqrt6}{49}(8t-1)(1-t)$。$t=2/9$ では両式は一致する。

(3) $0<t\le2/9$ では $3\sqrt6\,t^2$ は増加し、その最大値は $4\sqrt6/27$。後半では $(8t-1)(1-t)=-8(t-9/16)^2+49/32$ だから、$t=9/16$ で最大となり、その値は $3\sqrt6/8$。$4/27<3/8$ よりこれが全体の最大値である。