2近畿大学 2018年 数学 第2問解答・解説

近畿大学 2018 大問2（A）

設定

正四面体の一辺を $s$ とし、座標を平行移動・回転して $$\begin{aligned} A&=(q,q,q),& B&=(q,-q,-q),\\ C&=(-q,q,-q),&D&=(-q,-q,q) \end{aligned} \qquad(q>0)$$ とおく。このとき各辺の長さは $s=2\sqrt2\,q$。

正四面体の体積を $V_T$ とする。面の一辺は $s$、面積は $\sqrt3s^2/4$。正四面体では頂点から底面の重心へ引いた線分が高さとなる。底面の重心から頂点までの距離は $s/\sqrt3$ なので、正四面体の高さは $$\displaystyle \sqrt{s^2-\left(\frac{s}{\sqrt3}\right)^2}=s\sqrt{\frac23}.$$ したがって $$\displaystyle V_T=\frac13\cdot\frac{\sqrt3s^2}{4}\cdot s\sqrt{\frac23} =\frac{s^3}{6\sqrt2} =\frac{8q^3}{3}.$$

解答

(1)

$E,F,G,H$ をそれぞれ $A,B,C,D$ の反対側の面の重心とする。重心の位置ベクトルを用いると $$\displaystyle \overrightarrow{EF}=\frac{\overrightarrow{BA}}{3},\quad \overrightarrow{EG}=\frac{\overrightarrow{CA}}{3},\quad \overrightarrow{EH}=\frac{\overrightarrow{DA}}{3},$$ また $$\displaystyle \overrightarrow{FG}=\frac{\overrightarrow{CB}}{3},\quad \overrightarrow{FH}=\frac{\overrightarrow{DB}}{3},\quad \overrightarrow{GH}=\frac{\overrightarrow{DC}}{3}.$$ よって $EFGH$ の6辺はすべて $s/3$ であり、正四面体 $ABCD$ と相似比 $1/3$ の正四面体である。体積比は相似比の3乗だから $$\displaystyle \boxed{\frac{V_{EFGH}}{V_T}=\frac1{27}}.$$

(2)

指定された辺の中点は $$\begin{aligned} I&=(q,0,0),&J&=(0,q,0),&K&=(0,0,q),\\ L&=(-q,0,0),&M&=(0,-q,0),&N&=(0,0,-q). \end{aligned}$$ したがって $IJKLMN$ は座標軸上の6頂点 $(\pm q,0,0),(0,\pm q,0),(0,0,\pm q)$ をもつ正八面体である。中央の $x=0$ 面にある正方形は一辺 $\sqrt2q$、面積 $2q^2$、頂点 $I,L$ からこの面までの高さはそれぞれ $q$。正八面体はこの正方形を共通の底面とする2つの角錐なので $$\displaystyle V_{IJKLMN}=2\cdot\frac13\cdot2q^2\cdot q=\frac{4q^3}{3}.$$ ゆえに $$\displaystyle \boxed{\frac{V_{IJKLMN}}{V_T} =\frac{4q^3/3}{8q^3/3}=\frac12}.$$

(3)

8つの三角形の重心を座標で求めると $$\begin{array}{ll} P=(q/3,q/3,q/3),&Q=(q/3,-q/3,q/3),\\ R=(q/3,-q/3,-q/3),&S=(q/3,q/3,-q/3),\\ T=(-q/3,q/3,q/3),&U=(-q/3,-q/3,q/3),\\ V=(-q/3,-q/3,-q/3),&W=(-q/3,q/3,-q/3). \end{array}$$ つまり8点は $(\pm q/3,\pm q/3,\pm q/3)$ のすべての組であり、立方体の頂点である。その一辺は $2q/3$、よって $$\displaystyle V_{PQRS\text{-}TUVW}=\left(\frac{2q}{3}\right)^3=\frac{8q^3}{27}.$$ したがって $$\displaystyle \boxed{\frac{V_{PQRS\text{-}TUVW}}{V_T} =\frac{8q^3/27}{8q^3/3}=\frac19}.$$

(4)

$P,Q,R,S$ はいずれも中点 $I=(q,0,0)$ と、$x=0$ にある2つの中点の三角形の重心である。したがって4点は平面 $$\displaystyle x=\frac q3$$ 上にある。$A,B$ は $x=q$、$C,D$ は $x=-q$ なので、$A,B$ を含む側は $q/3\le x\le q$ である。

断面の位置を $$x=q(1-2\lambda),\qquad 0\le\lambda\le1$$ で表す。$\lambda=0$ は辺 $AB$ の位置、$\lambda=1$ は辺 $CD$ の位置であり、切断面 $x=q/3$ は $\lambda=1/3$ に当たる。一定の $\lambda$ における四角形の頂点は、辺 $AC,AD,BC,BD$ 上の点 $$(1-\lambda)A+\lambda C,\quad (1-\lambda)A+\lambda D,\quad (1-\lambda)B+\lambda C,\quad (1-\lambda)B+\lambda D$$ である。これは、長さ $(1-\lambda)s$ の辺と長さ $\lambda s$ の辺が直交する長方形である。実際、辺の方向は $B-A=(0,-2q,-2q)$ と $D-C=(0,-2q,2q)$ に平行で、その内積は $0$。したがって断面積は $$S(\lambda)=s^2\lambda(1-\lambda).$$ また $dx=-2q\,d\lambda$。断面積を積分して $A,B$ 側と正四面体全体の体積の比をとると、共通因子 $2qs^2$ が消えて $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{V_{AB\text{側}}}{V_T} &=\frac{\displaystyle\int_0^{1/3}\lambda(1-\lambda)\,d\lambda} {\displaystyle\int_0^1\lambda(1-\lambda)\,d\lambda}\\ &=\frac{\left[\dfrac{\lambda^2}{2}-\dfrac{\lambda^3}{3}\right]_0^{1/3}} {\dfrac16} =\frac{\dfrac1{18}-\dfrac1{81}}{\dfrac16} =\boxed{\frac7{27}}. \end{aligned}$$

最終答案

- (1) $\displaystyle \dfrac1{27}$ - (2) $\displaystyle \dfrac12$ - (3) $\displaystyle \dfrac19$ - (4) $\displaystyle \dfrac7{27}$

使用した解法

重心と中点を座標で表し、相似比・角錐体積・立方体の辺長から体積を比較した。切断後の体積は平行断面の面積を $\lambda$ の式で表して積分した。