3東京大学 2010年 数学 第3問解答・解説

操作回数0回では、$P_0(30)=1$、$0\le x<30$ に対して $P_0(x)=0$ と定める。箱Lの個数を $x$ とした1回の操作後、表なら $x+K(x)$、裏なら $x-K(x)$ 個となる。したがって $$x\le15:\quad \text{表で }2x,\ \text{裏で }0;\qquad x\ge16:\quad \text{表で }30,\ \text{裏で }2x-30.$$ また0個と30個は以後変化しないので、$P_j(0)=0,\ P_j(30)=1$ である。よって $$y=\begin{cases}2x&(0\le x\le15),\\2x-30&(16\le x\le30)\end{cases}$$ と選べば、$m\ge2$ に対して $$\displaystyle P_m(x)=\begin{cases}\dfrac12P_{m-1}(y)&(0\le x\le15),\\\dfrac12\{1+P_{m-1}(y)\}&(16\le x\le30).\end{cases}$$ となる。$x=0$ および $x=30$ でもこの式は成り立つ。

(2) $x=10$ では $y=20$、$x=20$ では $y=10$ だから $$\displaystyle P_m(10)=\frac12P_{m-1}(20)=\frac14\{1+P_{m-2}(10)\}\quad(m\ge2).$$ $q_n=P_{2n}(10)$ とおくと $q_0=P_0(10)=0$、$\displaystyle q_n=\frac14+\frac14q_{n-1}$ である。したがって $$\displaystyle P_{2n}(10)=q_n=\sum\limits _{k=1}^n\frac1{4^k}=\frac{1-4^{-n}}3.$$

(3) $x=6,12,24,18$ から、続行する側の個数は順に $12,24,18,6$ となる。式(1)より $$\displaystyle P_m(6)=\frac12P_{m-1}(12),\quad P_m(12)=\frac12P_{m-1}(24),\quad P_m(24)=\frac12\{1+P_{m-1}(18)\},\quad P_m(18)=\frac12\{1+P_{m-1}(6)\}.$$ これらを順に代入すると、$m\ge4$ で $$\displaystyle P_m(6)=\frac3{16}+\frac1{16}P_{m-4}(6).$$ $r_n=P_{4n}(6)$ とおけば $r_0=P_0(6)=0$、$\displaystyle r_n=\frac3{16}+\frac1{16}r_{n-1}$ である。ゆえに $$\displaystyle P_{4n}(6)=r_n=\frac3{16}\sum\limits _{k=0}^{n-1}\frac1{16^k}=\frac{1-16^{-n}}5.$$