2和歌山県立医科大学 2017年 数学 第2問解答・解説

点$P$の座標を$P=(x,y,0)$とおく。$P$は中心$(1,0,0)$、半径$1$の球面と$xy$平面との交円上にあるから、$(x-1)^2+y^2=1$、すなわち$y^2=x(2-x)$であり、$0\le x\le2$である。$x$軸対称な点は$P'=(x,-y,0)$なので、三角形$OPP'$の重心は$G=(2x/3,0,0)$となる。

$G$を通る$z$軸に平行な直線上の点を$(2x/3,0,z)$とすると、これが球面上にある条件は$(2x/3-1)^2+z^2=1$である。したがって$\displaystyle z^2=\dfrac49x(3-x)$となり、$0<x\le2$では正の交点は$$\displaystyle Q=\left(\dfrac{2x}{3},0,\dfrac23\sqrt{x(3-x)}\right)$$である。なお$x=0$では直線は球面に接し、正の$z$座標をもつ交点がないため、体積$V$が定義される範囲は$0<x\le2$である。

底面を$xy$平面上の三角形$OPP'$とすると、その面積は$\displaystyle \dfrac12\lvert x(-y)-yx\rvert=\lvert xy\rvert=x\sqrt{x(2-x)}$であり、高さは$Q$の$z$座標である。よって$$\displaystyle V=\dfrac13\,x\sqrt{x(2-x)}\cdot\dfrac23\sqrt{x(3-x)}=\dfrac29x^2\sqrt{(2-x)(3-x)}.$$

$V\ge0$なので$V$を最大にするには$F(x)=x^4(2-x)(3-x)$を最大にすればよい。$0<x\le2$において$$\displaystyle F'(x)=x^3(6x^2-25x+24)=6x^3\left(x-\dfrac32\right)\left(x-\dfrac83\right).$$この範囲では$F$は$0<x<3/2$で増加し、$3/2<x<2$で減少する。また$F(2)=0$であり、$x=3/2$で最大となる。したがって$$\displaystyle V_{\max}=\dfrac29\left(\dfrac32\right)^2\sqrt{\left(2-\dfrac32\right)\left(3-\dfrac32\right)}=\dfrac{\sqrt3}{4}.$$このとき$y^2=x(2-x)=3/4$より$y=\pm\sqrt3/2$。ゆえに求める点は$P=(3/2,\sqrt3/2,0)$、$P=(3/2,-\sqrt3/2,0)$である。確認としてこのとき$G=(1,0,0)$、$Q=(1,0,1)$となり、底面積は$3\sqrt3/4$、高さは$1$だから、四面体の体積は確かに$\sqrt3/4$である。