3和歌山県立医科大学 2017年 数学 第3問解答・解説

$a,b,p$ は自然数であるから $a>0$ である。二次方程式の整数解を $r$ とする。$r\geq 0$ なら $ar^2+br+6>0$ となるので、$r=-m$ とおける。ただし $m$ は正の整数である。これを代入すると $$\displaystyle am^2-bm+6=0,\qquad b=am+\frac{6}{m}$$ となるから、$m\mid 6$ である。そこで $d=6/m$ とおくと、$m=1,2,3,6$、かつ $b=am+d$ であり、 $$ax^2+bx+6=(x+m)(ax+d)$$ と因数分解できる。根の積は $6/a$ なので、もう一つの根は $-d/a$ である。条件よりその絶対値も $1$ 以上であるから、$a\leq d$ となる。したがって $m=1,2,3,6$ に対して、それぞれ $1\leq a\leq 6,3,2,1$ である。

整数 $n$ に対して $$u=n+m,\qquad v=an+d=a(u-m)+d$$ とおけば、$p=uv$ である。$p$ は正の素数だから、$(u,v)=(1,p),(p,1),(-1,-p),(-p,-1)$ のいずれかである。各場合に得られる $p$ は $$\displaystyle \begin{array}{c|c} \text{条件}&p\\ \hline u=1&d-a(m-1)\\ v=1&m+\dfrac{1-d}{a}\quad(a\mid 1-d)\\ u=-1&a(m+1)-d\\ v=-1&\dfrac{d+1}{a}-m\quad(a\mid d+1) \end{array}$$ である。各 $m$ の許される $a$ をこれらに代入し、割り切り条件も確認すると、素数となる候補は次のとおりである。 $$\begin{array}{c|c|c|c} m&d& a\text{ の範囲}&(a,p)\text{ の候補}\\ \hline 1&6&1\leq a\leq 6&(4,2)\\ 2&3&1\leq a\leq 3&(1,2),(2,3)\\ 3&2&1\leq a\leq 2&(1,2)\\ 6&1&a=1&\text{なし} \end{array}$$ それぞれ $b=am+d$ を求めると、$(m,a,p)=(1,4,2),(2,1,2),(2,2,3),(3,1,2)$ から得られる組は $(a,b,p)=(4,10,2),(1,5,2),(2,7,3),(1,5,2)$ である。重複を除くと候補は $(1,5,2),(2,7,3),(4,10,2)$ となる。

実際、 $$\begin{aligned} x^2+5x+6&=(x+2)(x+3),&\quad n=-1&:\ n^2+5n+6=2,\\ 2x^2+7x+6&=(x+2)(2x+3),& n=-3&:\ 2n^2+7n+6=3,\\ 4x^2+10x+6&=(x+1)(4x+6),& n=-2&:\ 4n^2+10n+6=2. \end{aligned}$$ 各二次方程式は絶対値が $1$ 以上の根だけを持ち、指定した $n$ で素数 $p$ が得られる。よって求める組は $$\boxed{(a,b,p)=(1,5,2),\ (2,7,3),\ (4,10,2)}$$ である。