1東京医科大学 2021年 数学 第1問解答・解説

東京医科大学 2021年度 第1問

問題ID: MM-46546443605b-Q1

(1)

$$\displaystyle \left(\frac{2}{\sqrt{6+\sqrt{35}}}\right)^2 =\frac{4}{6+\sqrt{35}} =4(6-\sqrt{35}) =24-4\sqrt{35}.$$ 一方、 $$(\sqrt m-\sqrt n)^2=m+n-2\sqrt{mn}.$$ 左辺は正なので $\sqrt m-\sqrt n>0$、すなわち $m>n$ である。整数部分と $\sqrt{35}$ の係数を比べると $$m+n=24,\qquad 2\sqrt{mn}=4\sqrt{35},$$ したがって $mn=140$。よって $m,n$ は $$z^2-24z+140=(z-14)(z-10)=0$$ の2根であり、$m>n$ より $m=14,\ n=10$。実際、 $$(\sqrt{14}-\sqrt{10})^2=24-2\sqrt{140}=24-4\sqrt{35}$$ で両辺は正だから元の等式も成り立つ。**答え：$m=14$。**

(2)

面数を $F$、辺数を $E$、頂点数を $V$ とする。各面は四角形なので面から数えた辺の延べ数は $4F$。凸多面体では各辺は2面に共有されるから $$4F=2E.$$ $F=29$ より $E=58$。さらにオイラーの公式 $V-E+F=2$ から $$V=2+E-F=2+58-29=31.$$ **答え：辺 $58$、頂点 $31$。**

(3)

$$x^3-2x^2+3=(x+1)(x^2-3x+3)$$ なので、$x^2-3x+3$ を法とすると $x^2=3x-3$ および $$x^3=x(3x-3)=3x^2-3x=6x-9$$ となる。$A=(x^3-2x^2+3)Q(x)+(4x^2+5x+33)$ と書けば、最初の項は $x^2-3x+3$ で割り切れる。したがって余りは $$4x^2+5x+33\equiv4(3x-3)+5x+33=17x+21.$$ **答え：$17x+21$。**

(4)

$n=4+9k$（$k\text{ は整数}$）とおく。11で割った余りの条件より $$4+9k\equiv7\pmod{11},\qquad 9k\equiv3\pmod{11}.$$ $9\cdot5\equiv1\pmod{11}$ だから $k\equiv15\equiv4\pmod{11}$。従って $$n=4+9k\equiv4+9\cdot4=40\pmod{99}.$$ **答え：$40$。**

(5)

$x_0=\sqrt6\,f(\sqrt6)$ とおくと $$x_0=-\sqrt6(\sqrt6)^{\sqrt6}=-(\sqrt6)^{\sqrt6+1}<0.$$ $x<0$ では $f(x)=-(-x)^{\sqrt6}$ だから $$f'(x)=\sqrt6\,(-x)^{\sqrt6-1}.$$ よって $$\begin{aligned} f'(x_0) &=\sqrt6\left((\sqrt6)^{\sqrt6+1}\right)^{\sqrt6-1}\\ &=(\sqrt6)^{1+(\sqrt6+1)(\sqrt6-1)} =(\sqrt6)^6 =216. \end{aligned}$$ **答え：$216$。**

最終答案

$$\boxed{(1)\ 14,\quad (2)\ 58,\ 31,\quad (3)\ 17x+21,\quad (4)\ 40,\quad (5)\ 216}$$

使用解法

- (1) 平方、平方根の有理化、和と積による整数の決定。 - (2) 面と辺の対応およびオイラーの公式。 - (3) 多項式の割り算と合同式（剰余）。 - (4) 連立剰余条件を一次合同式に直して解く。 - (5) 負の範囲で絶対値を外し、べき関数を微分。

issues

なし。