4東京医科大学 2021年 数学 第4問解答・解説

東京医科大学 2021年度 第4問

問題ID: MM-46546443605b-Q4

$x\neq0$ なので、方程式を $x^2$ で割ると $$\displaystyle x^2+11x+31+\frac{11}{x}+\frac{1}{x^2}=0.$$ $\displaystyle y=x+\frac1x$ とおくと $\displaystyle x^2+\frac1{x^2}=y^2-2$ だから $$y^2+11y+29=0.$$ 従って空欄は $\text{アイ}=11,\ \text{ウエ}=29$。

この二次方程式の2根を $y_1,y_2$ とすると、解と係数の関係より $$y_1+y_2=-11,\qquad y_1y_2=29.$$ また、 $$\begin{aligned} (x^2-y_1x+1)(x^2-y_2x+1) &=x^4-(y_1+y_2)x^3+(y_1y_2+2)x^2\\ &\quad -(y_1+y_2)x+1\\ &=x^4+11x^3+31x^2+11x+1. \end{aligned}$$ よって四つの解は、$y_i$ を根にもつ二次方程式 $x^2-y_i x+1=0$ の2根ずつに分かれる。各組の根を $u,v$ とすれば、解と係数の関係から $u+v=y_i,\ uv=1$。

まず各組について $$\displaystyle \frac1u+\frac1v=\frac{u+v}{uv}=y_i$$ なので、四つの解の逆数の和は $$y_1+y_2=-11.$$

二乗和は各組について $$u^2+v^2=(u+v)^2-2uv=y_i^2-2$$ だから $$\begin{aligned} \alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\delta^2 &=y_1^2+y_2^2-4\\ &=(y_1+y_2)^2-2y_1y_2-4\\ &=121-58-4=59. \end{aligned}$$

三乗和は各組について $$u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)=y_i^3-3y_i.$$ さらに $$y_1^3+y_2^3=(y_1+y_2)^3-3y_1y_2(y_1+y_2) =-1331+957=-374.$$ 従って $$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3+\delta^3 =(y_1^3+y_2^3)-3(y_1+y_2) =-374+33=-341.$$

最終答案

$$\displaystyle \boxed{\text{アイ}=11,\quad \text{ウエ}=29,\quad \frac1\alpha+\frac1\beta+\frac1\gamma+\frac1\delta=-11,\quad \alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\delta^2=59,\quad \alpha^3+\beta^3+\gamma^3+\delta^3=-341}$$

使用解法

$y=x+1/x$ による変形、二次方程式の解と係数の関係、根の組ごとの二乗和・三乗和の恒等式を用いた。

issues

なし。