1香川大学 2009年 数学 第1問解答・解説

$$\begin{aligned} &\text{1. }f(t)=at^3+bt^2+ct+d=a(t-\alpha)(t-\beta)(t-\gamma)\quad(\text{解は重複度を含めて数える})\\ &=a\left\{t^3-(\alpha+\beta+\gamma)t^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)t-\alpha\beta\gamma\right\}. \end{aligned}$$ 係数を比較すると、　 $-a(\alpha+\beta+\gamma)=b,\quad a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=c,\quad -a\alpha\beta\gamma=d$。 $a\ne0$より、　 $\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=-\frac ba,\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac ca,\quad \alpha\beta\gamma=-\frac da$。

$$\text{2. }(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=x^3+y^3+z^3-3xyz.$$ また、$\displaystyle x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\frac12\bigl((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\bigr)\ge0\quad(x,y,z\text{は実数})$。 したがって、$\displaystyle x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=\frac{x+y+z}{2}\bigl((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\bigr)$。

3. $u=\sin x,\ v=\sin y,\ w=\sin z$とおく。　 $\displaystyle p_1=u+v+w=\frac{1+\sqrt2+\sqrt3}{2},\quad p_2=u^2+v^2+w^2=\frac32$、 $\displaystyle p_3=u^3+v^3+w^3=\frac{1+2\sqrt2+3\sqrt3}{8}$。 $e_1=u+v+w,\quad e_2=uv+vw+wu,\quad e_3=uvw$とすると、 $\displaystyle e_1=p_1=\frac{1+\sqrt2+\sqrt3}{2},\quad e_2=\frac{p_1^2-p_2}{2}=\frac{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6}{4}$。 展開により$p_3=e_1p_2-e_2p_1+3e_3$だから、 $\displaystyle e_3=\frac{p_3-e_1p_2+e_2p_1}{3}=\frac{\sqrt6}{8}$。 よって$u,v,w$を根にもつ三次式は $\displaystyle T^3-e_1T^2+e_2T-e_3=\left(T-\frac12\right)\left(T-\frac{\sqrt2}{2}\right)\left(T-\frac{\sqrt3}{2}\right)$。 したがって、$\displaystyle \{u,v,w\}=\left\{\frac12,\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt3}{2}\right\}$。 $\displaystyle 0\le x\le y\le z\le\frac\pi2$では$\sin t$は単調増加するので、　 $\displaystyle u=\frac12,\quad v=\frac{\sqrt2}{2},\quad w=\frac{\sqrt3}{2}$。 $\displaystyle \sin\frac\pi6=\frac12,\quad\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}{2},\quad\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}{2}$より、 $\displaystyle \boxed{(x,y,z)=\left(\frac\pi6,\frac\pi4,\frac\pi3\right)}$。