2香川大学 2009年 数学 第2問解答・解説

2つの関係式を順に使って、まず数項を求める。

$n=1$ のとき $$\displaystyle 1=a_1=\frac{b_1+b_2}{2}=\frac{b_2}{2}$$ だから $b_2=2$。また $$2=b_2=\sqrt{a_1a_2}=\sqrt{a_2}$$ より $a_2=4$ である。次に $n=2$ では $$\displaystyle 4=a_2=\frac{b_2+b_3}{2}=\frac{2+b_3}{2}$$ から $b_3=6$、さらに $$6=b_3=\sqrt{a_2a_3}=\sqrt{4a_3}$$ から $a_3=9$。同様に $n=3$ を使うと $b_4=12$、$a_4=16$ を得る。

したがって、初めの値は $$a_2=4,\quad a_3=9,\quad a_4=16,\qquad b_2=2,\quad b_3=6,\quad b_4=12.$$

この並びから $a_n=n^2$, $b_n=n(n-1)$ と予想できる。数学的帰納法で確かめる。$n=1$ では $$a_1=1=1^2,\qquad b_1=0=1(1-1)$$ なので成り立つ。

ある $n\geq1$ で $a_n=n^2$, $b_n=n(n-1)$ が成り立つと仮定する。第1の関係を $b_{n+1}$ について解くと $$b_{n+1}=2a_n-b_n=2n^2-n(n-1)=n(n+1).$$ 第2の関係から $$n(n+1)=b_{n+1}=\sqrt{a_na_{n+1}} =\sqrt{n^2a_{n+1}}=n\sqrt{a_{n+1}}.$$ 平方根が定義されているので $a_{n+1}\geq0$。また $n\geq1$ だから、最後の等式を $n$ で割って $$\sqrt{a_{n+1}}=n+1, \qquad a_{n+1}=(n+1)^2$$ となる。すでに $b_{n+1}=n(n+1)=(n+1)n$ も分かっている。よって両方の式が $n+1$ でも成り立ち、帰納法により、すべての $n\geq1$ で $$\boxed{a_n=n^2,\qquad b_n=n(n-1)}$$ が成り立つ。

最後にこの $b_k$ を和に代入する。 $$\displaystyle \begin{aligned} S_n&=\sum\limits _{k=1}^{n}b_k=\sum\limits _{k=1}^{n}k(k-1) =\sum\limits _{k=1}^{n}k^2-\sum\limits _{k=1}^{n}k\\ &=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{n(n+1)}{2} =\boxed{\frac{n(n+1)(n-1)}{3}}. \end{aligned}$$ したがって、答えは $$\displaystyle \boxed{S_n=\frac{n(n+1)(n-1)}{3}}.$$